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AtCoder Grand Contest 024 Problem E##
Time Limit: 2 Sec
Memory Limit: 1024 MBDescription###
Find the number of the possible tuples of sequences ((A_0,A_1,…,A_N)) that satisfy all of the following conditions, modulo (M):
• For every (i) ((0≤i≤N)), (A_i) is a sequence of length (i) consisting of integers between (1) and (K) (inclusive);
• For every (i) ((1≤i≤N)), (A_{i-1}) is a subsequence of (A_i), that is, there exists (1≤x_i≤i) such that the removal of the (x_i)-(th) element of (A_i) would result in a sequence equal to (A_{i-1});
• For every (i) ((1≤i≤N)), (A_i) is lexicographically larger than (A_{i-1}).
Input###
• (1≤N,K≤300)
• (2≤M≤109)
• (N, K) and (M) are integers.
Input is given from Standard Input in the following format:
(N K M)
Output###
Print the number of the possible tuples of sequences ((A_0,A_1,…,A_N)), modulo (M).
Sample Input 1###
2 2 100
Sample Output 1###
5
Five tuples below satisfy the conditions:
• (),(1),(1,1)
• (),(1),(1,2)
• (),(1),(2,1)
• (),(2),(2,1)
• (),(2),(2,2)
Sample Input 2###
4 3 999999999
Sample Output 2###
358
Sample Input 3###
150 150 998244353
Sample Output 3###
186248260
题目地址： AtCoder Grand Contest 024 Problem E
题目大意：
考虑 (N + 1) 个数组 ({A_0, A_1, . . . , A_N })。
其中 (A_i) 的长度是 (i)，$A_i $内的所有数字都在 (1) 到 (K) 之间。
(A_{i−1}) 是 (A_i) 的⼦序列，即 (A_i) 删⼀个数字可以得到 (A_{i−1})。
(A_i) 的字典序⼤于 (A_{i−1})。
输⼊ (N, K, M) 问序列个数模 (M)。
题解：
我们可以认为 (A_i) 是 (A_{i−1}) 插⼊⼀个数字 (x) 得到的。
为了让字典序变⼤，插⼊的 (x) 必须严格⼤于插⼊位置右侧的数字。
题目解法一
序列可以转化为⼀个树。
⼀个节点有 2 个属性，时间和权值。
⼀个节点的⽗亲节点，是插⼊位置右侧的，如果插⼊在末尾，右侧为空，那么⽗亲节点是 (0, 0)。
时间必须唯⼀，权值可以是 (1) 到 (K) 之间任选。
每个点的时间和权值必须严格⼤于⽗亲节点的时间和权值。
(f[i][x]) 表⽰⼤⼩为 (i) 的⼦树，根节点权值为 (x) 的⽅案数。
$$f[i][x]=sum_{1≤j≤i−1}sum_{x<y≤K} f[i − j][x] ∗ f[j][y] ∗ C(i − 2, j − 1)$$
$sum_{x<y≤K}f[j][y] $ 可以⽤部分和优化存。
类似树形 DP 做⼀下就⾏了。
参考代码
题目解法二
上⾯⼀个做法，⽐较容易理解，但是写起来稍微⿇烦。需要预处理组合数。
原本是元素⼀个⼀个加⼊进序列，序列慢慢变长。
现在我们考虑，从⼩到⼤加⼊所有的元素。显然有先加⼊⼤的，再加⼊⼩的情况。
加⼊较⼤元素的时候，我们不仅可以再最后⼀个序列中加⼊，也可以在之前的序列中加⼊。
设 (f[i][v][p])，当前长度为 (i)，从⼩到⼤依次插⼊权值，已插⼊到 (v)，考虑在第 (p) 个序列加⼊。
核⼼思想是从⼩到⼤插⼊权值，但是这样可能漏掉⼀些情况（先插⼊⼤权值，再插⼊⼩权值。）
(p) 就为了解决这个问题，允许我们修改从前的过程。
转移：
(f[i][v][p − 1]+ = f[i][v][p]) 不加⼊，考虑在第 (p − 1) 个序列加⼊，要求 ((p > 0))。
(f[i][v + 1][i]+ = f[i][v][p]) 换更⼤的值，如果已经尝试到第 (0) 个序列了，要求 ((p = 0))。
(f[i + 1][v][p]+ = f[i][v][p] ∗ (p + 1)) 插⼊⼀个，注意即使加⼊，下⼀次依然是第 (p) 个序列，⽽不是 (p + 1)。
空间复杂度 (O(KN^2))，可以优化为 (O(KN))。
AC代码
#include <cstdio>
using namespace std;
int N,K,mo;
int dp[305][305];
int main(){
scanf("%d%d%d",&N,&K,&mo);
dp[0][0]=1;
for(int i=0;i<=N;i++)
for(int j=0;j<K;j++)
for(int k=i;k>=0;k--){
if(k)dp[j][k-1]=(dp[j][k-1]+dp[j][k])%mo;
else dp[j+1][i]=(dp[j+1][i]+dp[j][k])%mo;
dp[j][k]=1ll*dp[j][k]*(k+1)%mo;
}
printf("%d
",dp[K][N]);
return 0;
}