原文：http://users.rowan.edu/~polikar/WTpart3.html
译文：https://blog.csdn.net/alihouzi/article/details/45190443
小波变换的数学基础（二）
内积，正交和正交归一化
如果两个向量v和w的内积为0，则说它们是正交的：
式3.6
类似的，如果两个函数的内积也为0，则可以说两个函数是正交的：
式3.7
如果一个向量序列互相对偶正交，并且模都为1，那么就说它们是正交归一化的。如下式：
式3.8
类似的，一个函数序列phi_k(t),k=1,2,3…如果满足下面的公式也可说是正交归一化的：
式3.9
且
式3.10
相当于
式3.11
其中delta_(kl)是克罗内克δ表示，定义如下：
式3.12
如上所说，基本函数（或向量）可能不只一系列。在他们中间，正交函数基（或向量基）极其重要，因为它们在查找这些分析系数时表现出良好的特征。利用正交归一化性质，正交归一化基使得人们可以用一个更简单和直接的方法计算这些系数。
对正交归一化基，系数u_k可以这样计算：
式3.13
函数f(t)可以通过替换u_k系数由式3.2a来重构。即：
式3.14
在双正交基应用的场合正交归一化基不适用，而双正交基却是从正交归一化基总结出来的。这里的“双正交”意思是两个不同的基，彼此正交，但是二者都不是正交序列（每一组向量之间并不一定具有正交关系）。
在坐标系统应用的场合，双正交基也不适用了。坐标系统是构成小波理论的一部分，感兴趣的读者可以去读前文提到的凯瑟的书。
和前面讲解快速傅立叶变换一样的顺序，我们将会举一系列连续小波变换的例子。例子里给出的图都是从一个计算连续小波变换的程序而来。
在我们结束这一节之前，我将说一下两个应用最广的母小波。墨西哥帽小波被定义为高斯函数的二阶微分：
式3.15
即
式 3.16
Morlet小波定义为：
式 3.16a
其中a为调制参数，sigma为影响窗宽度的尺度参数。