前缀、中缀、后缀表达式以及简单计算器的C++实现

前缀表达式（波兰表达式）、中缀表达式、后缀表达式（逆波兰表达式）

介绍

　　三种表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值，即数学表达式的求解。

前缀表达式

• 前缀表达式是一种没有括号的算术表达式，与中缀表达式不同的是，其将运算符写在前面，操作数写在后面。为纪念其发明者波兰数学家Jan Lukasiewicz，前缀表达式也称为“波兰式”。例如，- 1 + 2 3，它等价于1-(2+3)。

中缀表达式

• 中缀表达式就是一般的算数表达式，操作符以中缀形式出现在操作数之间。

后缀表达式

• 后缀表达式指的是不包含括号，运算符放在两个运算对象的后面，所有的计算按运算符出现的顺序，严格从左向右进行（不再考虑运算符的优先规则）。

中缀表达式转前缀表达式

　　例如：对于中缀表达式(3+4)×5-6，其前缀表达式为- × + 3 4 5 6。前后缀表达式与中缀之间的转换关系，不在此赘述，在Seraphjin的博客中，通过二叉树的方式，很好地解释了这一内容。

除了该博客中所说的二叉树法，还可以通过栈方法，来实现二者的转换，具体步骤如下：

•  初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
• 从右至左扫描中缀表达式；
•  遇到操作数时，将其压入S2；
• 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
•  如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
•  否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
•  否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
• 遇到括号时：
•  如果是右括号“)”，则直接压入S1；
• 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
• 重复上述步骤，直到表达式的最左边；
• 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
• 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

前缀表达式的计算机求解

　　利用计算器对前缀表达式求解其算数值时，采用从左到右扫描的方法，遇到操作数，则将其入栈，遇到操作符，则从栈中弹出两个操作数，由于前缀操作符位于数字之前，因此，第二个弹出的操作数为被操作数。然后对两个操作数根据操作符做相应的操作。

1. 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
2. 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
4. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

中缀表达式转后缀表达式

　　表达式的转换，有二叉树法和栈方法，二叉树法不在此追述，详情见上文链接。

　　栈方法将中缀表达式转后缀表达式的方法如下所示：

• 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
• 从左至右扫描中缀表达式；
• 遇到操作数时，将其压入S2；
• 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
•  如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
• 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
•  否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再与S1中新的栈顶运算符相比较；
• 遇到括号时：
• 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
• 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
• 重复上述步骤，直到表达式的最右边；
• 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
• 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不 用逆序）。

后缀表达式在算数逻辑运算中的作用，以及简单计算器的C++实现

　　由上述内容可知，利用前缀或者后缀表达式，可以很好的利用计算器，解决日常中缀表达式的求解，在此基础上，给出，无括号情况下，简单计算器的实现。

　　.h文件代码

#ifndef _C_H_
#define _C_H_
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#endif

　　.cpp
　　文件代码

#include "C.h"

using namespace std;

struct node{
    double num;     //操作符
    char op;    //操作数
    bool flag;      //数符判定

};

string str;     //输入字符串
stack<node> s;  //操作符栈
queue<node> q;  //操作数队列
map<char, int>op;   //操作符优先级

void Change();      //中缀表达式转后缀表达式
double Cal();       //计算表达式的值

int main(){
    op['*'] = op['/'] = 2;
    op['+'] = op['-'] = 1;
    while(getline(cin, str), str!="0"){
        for(string::iterator it = str.end();it!=str.begin();it--){
            if(*it == ' '){
                str.erase(it);  //擦除表达式中的空格
            }
        }
        while(!s.empty()){
            s.pop();    //初始化栈
        }
        Change();   //中缀表达式转换为后缀表达式
        double rs = Cal();
        printf("%.2f
", rs);
    }

    return 0;
}

//中缀表达式转后缀表达式
void Change(){
    node temp;
    for(unsigned int i=0;i<str.length();){
        if(str[i]>='0'&&str[i]<='9'){   //为操作数
            temp.flag = true;
            temp.num = str[i++] - '0';    //记录该操作数的最高位
            while(i<str.length() && str[i]>='0' && str[i]<='9'){//记录该操作数的后续几位
                temp.num = temp.num * 10 + (str[i] - '0');  //更新操作数
                i++;
            }
            q.push(temp);
        }
        else{//为操作符
            temp.flag = false;
            while(!s.empty()&&op[str[i]]<=op[s.top().op]){
                q.push(s.top());
                s.pop();
            }
            temp.op = str[i];
            s.push(temp);
            i++;
        }
    }
    while(!s.empty()){//操作符栈非空，则直接入后缀表达式队列
        q.push(s.top());
        s.pop();
    }
}

double Cal(){
    double temp1, temp2;
    node cur, temp;
    while(!q.empty()){
        cur = q.front();
        q.pop();
        if(cur.flag){
            s.push(cur);
        }
        else{
            temp.flag = true;   //暂存计算数据
            temp2 = s.top().num;    //取第2操作数
            s.pop();
            temp1 = s.top().num;    //取第1操作数
            s.pop();
            if(cur.op=='+'){
                temp.num = temp1 + temp2;
            }
            else if(cur.op=='-'){
                temp.num = temp1 - temp2;   //后缀表达式，操作符在原表达式中位于操作数2和操作数1之间
            }
            else if(cur.op=='*'){
                temp.num = temp1 * temp2;
            }
            else{
                temp.num = temp1 / temp2;
            }
            s.push(temp);
        }
    }
    return s.top().num;
}

 　　有括号输入表达式下，计算器的实现：

#include "C.h"

using namespace std;

struct node{
    double num;     //操作数
    char op;    //操作符
    bool flag;      //数符定界，若真则为操作数，反之为操作符
};

string str;     //输入字符串
map<char, int> m;   //操作符优先级
queue<node> q;      //操作数队列
stack<node> s;      //操作符栈


void Change(){
    /*
    *中缀表达式转后缀表达式
    */
    node temp;
    for(unsigned int i=0;i<str.length();){
        if(str[i]>='0'&&str[i]<='9'){//字符为操作数
            temp.flag = true;
            temp.num = str[i++] - '0';    //记录该操作数
            while(i<str.length()&&str[i]>='0'&&str[i]<='9'){  //记录该操作数的后续几位
                temp.num = temp.num * 10 + (str[i] - '0');
                i++;
            }
            q.push(temp);
        }
        else if(str[i]=='+'||str[i]=='-'||str[i]=='/'||str[i]=='*'||str[i]=='('){
            temp.flag = false;
            if(!s.empty()&&s.top().op=='('){//判断操作符栈栈顶是否为左括号
                temp.op = str[i];
                s.push(temp);
            }
            else{
                while(!s.empty()&&m[str[i]]<=m[s.top().op]){
                    q.push(s.top());
                    s.pop();
                }
                temp.op = str[i];
                s.push(temp);
            }
            i++;
        }
        else{
            while(!s.empty()&&s.top().op!='('){
                q.push(s.top());
                s.pop();
            }
            s.pop();
            i++;
        }
    }
    while(!s.empty()){
        q.push(s.top());
        s.pop();
    }
}

double Cal(){
    node cur, temp;
    double temp1, temp2;
    while(!q.empty()){
        cur = q.front();
        q.pop();
        if(cur.flag){
            s.push(cur);
        }
        else{
            temp2 = s.top().num;
            s.pop();
            temp1 = s.top().num;
            s.pop();
            if(cur.op=='*'){
                temp.num = temp1 * temp2;
            }
            else if(cur.op=='+'){
                temp.num = temp1 + temp2;
            }
            else if(cur.op=='-'){
                temp.num = temp1 - temp2;
            }
            else{
                temp.num = temp1 / temp2;
            }
            s.push(temp);
        }
    }
    return s.top().num;
}

int main(){
    m['('] = m[')'] = 3;
    m['*'] = m['/'] = 2;
    m['+'] = m['-'] = 1;

    while(getline(cin, str), str!="0"){
        for(string::iterator it=str.end();it!=str.begin();it--){
            if(*it==' '){
                str.erase(it);
            }
        }
        cout<<str<<endl;
        while(!s.empty()){
            s.pop();
        }
        Change();
        printf("%.2f
", Cal());
    }

    return 0;
}