题目
给定一个 n*m 的矩阵 A ，矩阵中每一个元素为一个十六进制数。寻找一条从左上角都右下角的路径，每次只能向右或者向下移动，
使得路径上所有数字之积在 16 进制下的后缀 0 最少。
输入描述：
第一行：n, m (2 <= n,m <= 1000)
接下来 n 行，每行 m 个 16 进制整数 0<=aij<=1090<=aij<=109
输出描述：
第一行：最少后缀 0 的个数(十进制)
第二行：路径方案，从左上角开始，”>” 代表向右移动，”V” 代表向下移动。
如果有多种方案，输出字典序最小的方案(“>” 的字典序小于 “V”)。
示例：
-
输入
3 3
3 2 8
c 8 8
2 a f -
输出
1
‘>>VV’(此处输出实际上没有引号) -
说明
从左上角到右下角的所有路径中， 0x3 * 0x2 * 0x8 * 0x8 * 0xf = 0x1680 后缀 0 最少为 1， 且路径 “>>VV” 的字典序最小。
思路
-
首先需要设计一个函数来判断十六进制数字末尾零的个数。可以分为两种情况，小于 16 的数只有 0 末尾有一个零；大于等于 16 的数如果最后一位是 0，则肯定可以被 16 整除，若末尾是 0，我们对这个十六进制数向右移一位，也即除以 16，再看倒数第二位是否是零，这样一直往前判断直到某一位非零为止。
-
路径判断则用动态规划来实现。定义两个变量，第一个变量保存从左上角到每一个位置处的乘积，第二个变量保存是怎样从前一步到当前位置的，只有向右或者向下两种情况，用枚举表示。第一行只能向右走，第一列只能向下走，这是初始化情况。然后从第二行第二列开始进行判断，每一步比较从左边来的乘积和从上边来的乘积末尾含有零的个数，若二者不相等，则保存乘积和移动方向到相应变量中。若向下和向右二者相等，则需要分别向上和向左回溯到左上角倒序求出移动方向，然后从头开始比较，选择字典序小的路径作为最终的移动方向。
样例展示 (从左到右分别是原始数字、十六进制乘积和移动方向)
| 3 o | 2 (6) (>) | 8 (30) (>) |
|---|---|---|
| c (24) (V) | 8 (30) (V) | 8 (180) (V) |
| 2 (48) (V) | a (1E0) (V) | f (1680) (V) |
第二行第二个位置，从左边来是 24×8 = 120，末尾有 1 个 0；从上边来是 6×8 = 30，也有 1 个 0。
从左边来路径是 V>，从右边来路径是 >V，由于 > 字典序小于 V，因此最终移动方向为 >V。
代码实现
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; int find_zero_num(int number); int min_dictionary(int *direction, int i, int j, int col); void find_route(int *direction, vector<int> &route, int m, int n, int col); enum {RIGHT = 0, DOWN = 1}; //向下走为 1 ，向右走为 0 int main() { int n = 0, m = 0; cin >> n >> m; int data[n][m]; //保存矩阵中的数据 long int product[n][m]; //保存从左上角到位置(i, j)处的乘积 int direction[n][m] = {0}; //保存位置(i, j)处的乘积是怎么得到的，1为从前一位置往下，0为从前一位置往右 vector<int> route; //倒序保存路径 int i = 0, j = 0; for(i = 0; i < n ; i++) { for(j = 0; j < m; j++) { cin >> hex >> data[i][j]; } } // 初始化第一列的乘积作为边界值 product[0][0] = data[0][0]; for(i = 1; i < n; i++) { product[i][0] = product[i-1][0] * data[i][0]; direction[i][0] = DOWN; } // 初始化第一行的乘积作为边界值 for(j = 1; j < m; j++) { product[0][j] = product[0][j-1] * data[0][j]; direction[0][j] = RIGHT; } long int down = 0; long int right = 0; int flag = 0; for(i = 1; i < n; i++) { for (j = 1; j < m; j++) { down = product[i-1][j] * data[i][j]; //往下走的乘积 right = product[i][j-1] * data[i][j]; //往右走的乘积 if (find_zero_num(down) < find_zero_num(right)) { flag = 1; } else if (find_zero_num(down) > find_zero_num(right)) { flag = RIGHT; } else //若向下和向右一样，则优先取字典序小的 { if(min_dictionary(*direction, i, j, m)) { flag = DOWN; } else { flag = RIGHT; } } if(!flag) { product[i][j] = right; direction[i][j] = RIGHT; } else { product[i][j] = down; direction[i][j] = DOWN; } } } cout << find_zero_num(product[n-1][m-1]) << endl; find_route(*direction, route, n-1, m-1, m); for(i = int(route.size()-1); i >= 0; i--) { if (route[i]) { cout << 'V'; } else { cout << '>'; } } return 0; } // find the zero number of a hex data int find_zero_num(int number) { int sum = 0; if(number == 0) { sum = 1; } while (number % 16 == 0 && number >= 16) { sum++; number = number / 16; } return sum; } int min_dictionary(int *direction, int i, int j, int col) { vector<int> route_down; vector<int> route_right; int m = i - 1; int n = j; find_route(direction, route_down, m, n, col); //向上回溯路线 m = i; n = j - 1; find_route(direction, route_right, m, n, col); //向左回溯路线 int length = int(route_right.size()); for (i = length - 1; i >= 0; i--) //从第一个不相等的位置处开始判断字典序 { if (route_right[i] < route_down[i]) { return 0; //向右字典序小 } if (route_right[i] > route_down[i]) { return 1; //向下字典序小 } } return -1; } // 从位置 (m, n) 处回溯路线，倒序保存在向量中 void find_route(int *direction, vector<int> &route, int m, int n, int col) { while(1) { // 此位置乘积由上一位置向下移动得来，行数减一继续寻找 if(direction[m * col + n] == 1) { m = m - 1; route.push_back(1); } // 此位置乘积由上一位置向右移动得来，列数减一继续寻找 else { n = n - 1; route.push_back(0); } // 寻找至左上角，结束 if (m == 0 && n == 0) { break; } } }
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