1. 线性变换的概念
当一个矩阵 (A) 乘以一个向量 (oldsymbol v) 时，它将 (oldsymbol v) 变换到另一个向量 (Aoldsymbol v)。进来的是 (oldsymbol v)，出去的是 (T( oldsymbol v) = Aoldsymbol v)。一个变换 (T) 就像一个函数一样，进来一个数字 (x)，得到 (f(x))。但更高的目标是一次考虑所有的 (oldsymbol v)，我们是将整个空间 (oldsymbol V) 进行变换当我们用 (A) 乘以每一个向量 (oldsymbol v) 时。
一个变换 (T)，为空间 (oldsymbol V) 中的每一个向量 (oldsymbol v) 分配一个输出 (T( oldsymbol v))。这个变换是线性的，如果它满足：
我们可以将这两个条件结合成一个，
矩阵相乘满足线性变化，因为 (A(coldsymbol v+doldsymbol w)=cAoldsymbol v + dAoldsymbol w) 始终成立。
线性变换满足线到线，三角形到三角形，看下图。
在一条线上的三个点经过变换后仍然在一条线上，变换前等距离的点变换后仍然是等距离的点，输入是一个三角形变换后输出还是一个三角形。这种线性可以扩展到三个向量或者 N 个向量的组合。
变换有自己的语言，如果没有矩阵的话，我们没办法讨论列空间。但是这些思想可以被保留，比如列空间包含所有的线性组合 (Av)，零空间包含所有使得 (Av=0) 的输入。将它们转化为值域（range）和核（kernel）：
(T) 的值域 = 所有输出 (T(v)) 的集合，对应于列空间。
(T) 的核 = 所有使得 (T(v)=0) 的输入的集合，对应于零空间。
投影任意一个三维向量到 (xy) 平面，那么我们有 (T(x, y, z)=(x, y, 0))。值域就是这个平面，包含了所有的 (T(v))；核是 (z) 轴，它们被投影到了零点。这是一个线性的变换。
投影任意一个三维向量到 (z=1) 平面，那么我们有 (T(x, y, z)=(x, y, 1))。这不是一个线性的变换，为什么呢？它根本不能将零向量投影到零点，而这是线性变换必须满足的条件。
假设 (A) 是一个可逆的矩阵，那么核是零向量，值域 (W) 和输入空间 (V) 相同。有另一个线性变化是乘以矩阵 (A^{-1})，它将每一个 $T(v) $都带回到 (v)，有，
我们遇到了一个不可避免的问题，所有的线性变换都可以由一个矩阵产生吗？答案是肯定的，所有的变换比如旋转、投影……背后都藏着对应的一个矩阵。
最后我们来直观地感受一下线性变换，看一个矩阵是怎么旋转、拉伸或者以其它方式改变输入的房子的。
2. 线性变换的对应矩阵
这部分的核心在于，如果我们知道了基向量 (oldsymbol{v_1} cdots oldsymbol{v_n}) 的变换 (T(oldsymbol{v_1}) cdots T(oldsymbol{v_n}))，那么由于变换是线性的，我们就知道了任意输入向量 (oldsymbol{v}) 的变换 (T(oldsymbol{v}))。
每个向量 (oldsymbol{v}) 都可以表示为基向量的唯一线性组合 (c_1oldsymbol{v_1}+ cdots +c_noldsymbol{v_n})，又由于 (T) 是线性变换，那么必有 (T(oldsymbol{v}) = c_1T(oldsymbol{v_1})+ cdots +c_nT(oldsymbol{v_n}))。
函数 (1, x, x^2, x^3) 的导数是 (0, 1, 2x, 3x^2)。这里，(1, x, x^2, x^3)是立方多项式空间的一个基，输入空间 (V) 包含它们的所有组合，四个基的导数可以告诉我们空间 (V) 中的所有导数。
针对求导这个变换 (T)，我们求解 (doldsymbol v/dx=oldsymbol0) 来找到它的核。解是 (oldsymbol v=常数)，因此 (T) 的零空间是一维的，包含所有的常函数。我们查看 (T(v) = doldsymbol v/dx) 的所有输出来找到它的值域，由于输入是三次多项式，三次多项式的导数是二次多项式，所以如果输出空间 (W) 是二次多项式空间的话， 那么 (T) 的值域是整个 (W) ，维度为 3。核的维度+值域的维度=输入空间的维度。
导数将立方空间 (V) 变换到平方空间 (W)，对应的矩阵是 (3×4) 大小的。
为什么 (A) 是正确的矩阵，我们可以看到乘以矩阵 (A) 和变换 (T) 是一致的，(oldsymbol{v}=a+bx+cx^2+dx^3) 的导数是 (T(v)=b+2cx+3dx^2)。
然后我们来看积分变换 (T^{-1})，对应的矩阵是 (4×3) 大小的，(oldsymbol{w}=B+Cx+Dx^2) 的导数是 (T^{-1}(w)=0+Bx+frac{1}{2}Cx^2+frac{1}{3}Dx^3)。
长方形的矩阵 (A) 没有双边逆矩阵，但它有单边逆，积分是导数的单边逆。
如果你对一个函数积分后再求导，那么你又回到了起始函数，所以 (AA^{-1}=I)。但是，如果你先求导再积分，常数项就会丢失，(T^{-1}T(1)=0)，这也就是为什么 (A^{-1}A) 的第一列为 0。
现在我们来构建任意线性变换的矩阵。假设变换 (T) 将 (n) 维空间 (V) 变换到 (m) 维空间 (W)， (oldsymbol{v_1} cdots oldsymbol{v_n}) 是 (V) 的一组基向量，(oldsymbol{w_1} cdots oldsymbol{w_m}) 是 (W) 的一组基向量。那么矩阵 (A) 是 (m×n) 大小的，要找到它的第一列，我们应用 (T) 到第一个基向量 (oldsymbol{v_1})，(T(oldsymbol{v_1})) 位于 (W) 空间并有，
这些数字就是 (A) 的第一列元素，同理我们可以得到矩阵的所有元素。
所有的输入向量都可以表示为 (V) 中基向量的线性组合，变换后的输出则是 (W) 中基向量的线性组合。矩阵 (A) 告诉了我们变换 (T) 做了什么，任何从 (V) 到 (W) 的变换都可以转换为一个矩阵，这个矩阵则取决于基向量的选择。
两个变换 (S) 和 (T) 分别用矩阵 (B) 和 (A) 表示。当我们应用 (T) 变换到 (S) 变换的输出，我们得到了变换的组合 (TS)；当我们在 (B) 之后应用 (A)，我们得到了矩阵相乘 (AB)。矩阵相乘给出了变换 (TS) 的正确矩阵 (AB)。
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