平衡二叉树（AVL树）

一、定义

平衡二叉树，又称AVL树，它是一种特殊的二叉排序树。AVL树或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树：

（1）左子树和右子树都是平衡二叉树；

（2）左子树和右子树的深度（高度）之差的绝对值不超过1。

二、AVL树的C++实现

1、结点的定义

class AVLNode
{
public:
    int key;            //结点的值
    int height;         //结点的高度，根结点为0
    AVLNode* left;      //左孩子
    AVLNode* right;     //右孩子

    /*构造函数*/
    AVLNode(int k, AVLNode* left, AVLNode* right) :key(k), height(0), left(left), right(right) {}
};

2、AVL树的操作

AVL树同二叉排序树一样，有遍历（先序、中序、后序），最大值与最小值，插入和删除，销毁二叉树等操作，除插入和删除与二叉排序树操作不同之外，其余均与二叉排序树相同，所以这里就只写AVL插入和删除操作。

class AVLTree
{
private:
    AVLNode* root;        //根节点
public:
    /*构造函数*/
    AVLTree() :root(NULL) {};

    /*返回根节点*/
    AVLNode* getRoot() { return root; }

    /*先序遍历*/
    void preOrder(AVLNode* root);

    /*中序遍历*/
    void inOrder(AVLNode* root);

    /*后序遍历*/
    void postOrder(AVLNode* root);

    /*在AVL树root中查找值为key的结点并返回该结点*/
    AVLNode* search(AVLNode* root, int key);

    /*在AVL树中查找最小值结点并返回*/
    AVLNode* minimus(AVLNode* node);

    /*在AVL树中查找最大值结点并返回*/
    AVLNode* maximus(AVLNode* node);

    /*返回结点的高度*/
    int height(AVLNode* node);

    /*左左旋转*/
    AVLNode* leftLeftRotate(AVLNode* root);

    /*右右旋转*/
    AVLNode* rightRightRotate(AVLNode* root);

    /*左右旋转*/
    AVLNode* leftRightRotate(AVLNode* root);

    /*右左旋转*/
    AVLNode* rightLeftRotate(AVLNode* root);

    /*插入结点*/
    AVLNode* insert(AVLNode* root, int key);

    /*删除结点node*/
    AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, AVLNode* node);

    /*销毁AVL树*/
    void destroy(AVLNode* root);
};

3、旋转

在进行插入和删除之前需要先了解AVL树的旋转操作。旋转操作主要包括LL（左左）旋转、LR（左右）旋转、RR（右右）旋转、RL（右左）旋转，LL旋转与RR旋转对称，LR旋转与RL旋转对称。旋转操作是在插入结点或删除结点导致原AVL树不平衡时进行的。我的理解是当二叉树失衡的原因出现在“最低失衡根结点左子树的左子树”（所谓“最低失衡根结点”，则是从新增结点开始向根部回溯，所遇到的第一个失衡的根节点）时，则使用LL旋转来调整；当失衡出现在“最低失衡根节点左子树的右子树”，则使用LR旋转调整；RR旋转，RL旋转同理。具体的定义和操作可以看skywang12345的的文章：AVL树(二)之 C++的实现（我的这篇文章就是基于此文章，为了加深印象，在这里把实现再写一遍，加一些自己的理解）。

3.1 LL旋转

如上图所示，找到“最低失衡根结点”，上图是结点5，二叉树失衡的原因是因为结点1的存在，而结点1位于结点5“左子树的左子树”，所以要使用LL旋转来调节，只需一次旋转即可达到平衡。具体的方法是：LL旋转的对象是“最低失衡根结点”，也就是结点5，找到5的左孩子3，将3的右孩子4变成5的左孩子，最后将5变成3的右孩子，调整后的AVL树如下所示：

具体代码：

/*LL旋转，
* 参数： 
* root ： 失衡AVL树根节点
* 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
*/
AVLNode* AVLTree::leftLeftRotate(AVLNode* root)
{
    AVLNode* lchild = root->left;
    root->left = lchild->right;
    lchild->right = root;

    lchild->height = max(height(lchild->left), height(root)) + 1;
    root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;

    return lchild;
}

3.2 RR旋转

RR旋转与LL旋转对称。

如上图所示，“最低失衡根结点”是结点2，二叉树的失衡是结点6导致的，而结点6位于结点2“右子树的右子树”，所以要使用RR旋转来调节，只需一次旋转即可达到平衡。方法与LL旋转类似：RR旋转的对象是“最低失衡根结点”，这里是结点2，找到2的右孩子4，将4的左孩子3变成2的右孩子，最后将2变成4的右孩子，旋转后的结果如下图所示：

RR旋转代码如下：

/*RR旋转，
* 参数：
* root ： 失衡AVL树根节点
* 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
*/
AVLNode* AVLTree::rightRightRotate(AVLNode* root)
{
    AVLNode* rchild = root->right;
    root->right = rchild->left;
    rchild->left = root;

    rchild->height = max(height(root), height(rchild->right)) + 1;
    root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;

    return rchild;
}

3.3 LR旋转

LL旋转和RR旋转只需一次旋转即可达到平衡，而LR旋转和RL旋转需两次旋转才能达到平衡。

如上图所示，“最低失衡根结点”为结点5，二叉树失衡是因为结点3的存在，结点3位于结点5“左子树的右子树”，所以使用LR旋转来调节。方法：（1）先对最低失衡根结点的左孩子（结点2）进行RR旋转；（2）再对最低失衡根结点（结点5）进行LL旋转。下图演示了调整过程。

LR代码如下：

/*LR旋转
* 参数：
* root ： 失衡AVL树根节点
* 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
*/
AVLNode* AVLTree::leftRightRotate(AVLNode* root)
{
    root->left = rightRightRotate(root->left);    //先对左子树右右旋转
    return leftLeftRotate(root);    //再对根结点左左旋转
}

3.4 RL旋转

RL旋转与LR旋转对称，先LL旋转，在RR旋转。

分析过程与LR相似。旋转步骤：（1）先对最低失衡结点右孩子（结点5）LL旋转；（2）在对最低失衡结点（结点2）RR旋转。旋转过程如下：

RL实现代码：

/*RL旋转
* 参数：
* root ： 失衡AVL树根节点
* 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
*/
AVLNode* AVLTree::rightLeftRotate(AVLNode* root)
{
    root->right = leftLeftRotate(root->right);
    return rightRightRotate(root);
}

4、插入结点与删除结点

4.1 插入结点

插入操作与向二叉排序树中插入大体相同，只是多了插入结点后判断二叉树是否失衡以及失衡后的调整操作。

/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明：
*     root 插入新结点前AVL树的根结点
*     key 插入的结点的键值
* 返回值：
*     插入结点后AVL树的根节点
*/
AVLNode* AVLTree::insert(AVLNode* root, int key)
{
    if (root == NULL)
        root = new AVLNode(key, NULL, NULL);
    else if (key < root->key)    //插入左子树
    {
        root->left = insert(root->left, key);
        if (height(root->left) - height(root->right) == 2)    //插入导致二叉树失衡
        {
            if (key < root->left->key)
                root = leftLeftRotate(root);
            else root = leftRightRotate(root);
        }
    }
    else if (key>root->key)        //插入右子树
    {
        root->right = insert(root->right, key);
        if (height(root->right) - height(root->left) == 2)    //插入导致二叉树失衡
        {
            if (key > root->right->key)
                root = rightRightRotate(root);
            else root = rightLeftRotate(root);
        }
    }
    root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
    return root;
}

4.2 删除结点

删除结点后要判断二叉树是否失衡，若失衡则进行调整操作。

/*
* 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
*
* 参数说明：
*     root 删除结点前AVL树的根结点
*     node 要删除的结点
* 返回值：
*     删除结点node后AVL树的根节点
*/
AVLNode* AVLTree::deleteNode(AVLNode* root, AVLNode* node)
{
    if (root == NULL)
        return NULL;

    if (node->key < root->key)        //要删除的结点在左子树
    {
        root->left = deleteNode(root->left, node);
        if (height(root->right) - height(root->left) == 2)    //删除导致二叉树失衡
        {
            AVLNode* rightNode = root->right;
            if (height(rightNode->left)>height(rightNode->right))
                root = rightLeftRotate(root);
            else root = rightRightRotate(root);
        }
    }
    else if (node->key > root->key)    //要删除的结点在右子树
    {
        root->right = deleteNode(root->right, node);
        if (height(root->left) - height(root->right) == 2)    //删除导致二叉树失衡
        {
            AVLNode* leftNode = root->left;
            if (height(leftNode->left) > height(leftNode->right))
                root = leftLeftRotate(root);
            else root = leftRightRotate(root);
        }
    }
    else    //找到了要删除的结点
    {
        if (root->left != NULL&&root->right != NULL)    //结点的左右子树均不为空
        {
            if (height(root->left) > height(root->right))
            {
                /*
                * 如果tree的左子树比右子树高；
                * 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
                *  (02)将该最大节点的值赋值给tree。
                *  (03)删除该最大节点。
                * 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
                * 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                */

                AVLNode* maxNode = maximus(root->left);
                root->key = maxNode->key;
                root->left = deleteNode(root->left, maxNode);
            }
            else
            {
                /*
                 * 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
                 * 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
                 *  (02)将该最小节点的值赋值给tree。
                 *  (03)删除该最小节点。
                 * 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
                 * 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
                 */

                AVLNode* minNode = minimus(root->right);
                root->key = minNode->key;
                root->right = deleteNode(root->right, minNode);
            }
        }
        else
        {
            AVLNode* tmp = root;
            root = (root->left != NULL) ? root->left : root->right;
            delete tmp;
        }
    }
    return root;
}

三、测试代码

1、头文件 avltree.h

  1 #include <algorithm>
  2 #include <iostream>
  3 #include <cstdio>
  4 #include <cstring>
  5 using namespace std;
  6 
  7 class AVLNode
  8 {
  9 public:
 10     int key;            //结点的值
 11     int height;            //结点的高度，根结点为0
 12     AVLNode* left;        //左孩子
 13     AVLNode* right;        //右孩子
 14 
 15     /*构造函数*/
 16     AVLNode(int k, AVLNode* left, AVLNode* right) :key(k), height(0), left(left), right(right) {}
 17 };
 18 
 19 class AVLTree
 20 {
 21 private:
 22     AVLNode* root;        //根节点
 23 public:
 24     /*构造函数*/
 25     AVLTree() :root(NULL) {};
 26 
 27     /*返回根节点*/
 28     AVLNode* getRoot() { return root; }
 29 
 30     /*先序遍历*/
 31     void preOrder(AVLNode* root);
 32 
 33     /*中序遍历*/
 34     void inOrder(AVLNode* root);
 35 
 36     /*后序遍历*/
 37     void postOrder(AVLNode* root);
 38 
 39     /*在AVL树root中查找值为key的结点并返回该结点*/
 40     AVLNode* search(AVLNode* root, int key);
 41 
 42     /*在AVL树中查找最小值结点并返回*/
 43     AVLNode* minimus(AVLNode* node);
 44 
 45     /*在AVL树中查找最大值结点并返回*/
 46     AVLNode* maximus(AVLNode* node);
 47 
 48     /*返回结点的高度*/
 49     int height(AVLNode* node);
 50 
 51     /*左左旋转*/
 52     AVLNode* leftLeftRotate(AVLNode* root);
 53 
 54     /*右右旋转*/
 55     AVLNode* rightRightRotate(AVLNode* root);
 56 
 57     /*左右旋转*/
 58     AVLNode* leftRightRotate(AVLNode* root);
 59 
 60     /*右左旋转*/
 61     AVLNode* rightLeftRotate(AVLNode* root);
 62 
 63     /*插入结点*/
 64     AVLNode* insert(AVLNode* root, int key);
 65 
 66     /*删除结点node*/
 67     AVLNode* deleteNode(AVLNode* root, AVLNode* node);
 68 
 69     /*销毁AVL树*/
 70     void destroy(AVLNode* root);
 71 };
 72 
 73 /*先序遍历*/
 74 void AVLTree::preOrder(AVLNode* root)
 75 {
 76     if (root == NULL)
 77         return;
 78     cout << root->key << " ";
 79     preOrder(root->left);
 80     preOrder(root->right);
 81 }
 82 
 83 /*中序遍历*/
 84 void AVLTree::inOrder(AVLNode* root)
 85 {
 86     if (root == NULL)
 87         return;
 88     inOrder(root->left);
 89     cout << root->key << " ";
 90     inOrder(root->right);
 91 }
 92 
 93 /*后序遍历*/
 94 void AVLTree::postOrder(AVLNode* root)
 95 {
 96     if (root == NULL)
 97         return;
 98     postOrder(root->left);
 99     postOrder(root->right);
100     cout << root->key << " ";
101 }
102 
103 /*在AVL树root中查找值为key的结点并返回该结点*/
104 AVLNode* AVLTree::search(AVLNode* root, int key)
105 {
106     if (root == NULL || root->key == key)
107         return root;
108     if (key < root->key)
109         search(root->left, key);
110     else search(root->right, key);
111 }
112 
113 /*在AVL树中查找最小值结点并返回*/
114 AVLNode* AVLTree::minimus(AVLNode* node)
115 {
116     if (node->left == NULL)
117         return node;
118     return minimus(node->left);
119 }
120 
121 /*在AVL树中查找最大值结点并返回*/
122 AVLNode* AVLTree::maximus(AVLNode* node)
123 {
124     if (node->right == NULL)
125         return node;
126     return maximus(node);
127 }
128 
129 /*返回结点的高度*/
130 int AVLTree::height(AVLNode* node)
131 {
132     if (node != NULL)
133         return node->height;
134     return 0;
135 }
136 
137 
138 /*LL旋转，
139 * 参数： 
140 * root ： 失衡AVL树根节点
141 * 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
142 */
143 AVLNode* AVLTree::leftLeftRotate(AVLNode* root)
144 {
145     AVLNode* lchild = root->left;
146     root->left = lchild->right;
147     lchild->right = root;
148 
149     lchild->height = max(height(lchild->left), height(root)) + 1;
150     root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
151 
152     return lchild;
153 }
154 
155 /*RR旋转
156 * 参数：
157 * root ： 失衡AVL树根节点
158 * 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
159 */
160 AVLNode* AVLTree::rightRightRotate(AVLNode* root)
161 {
162     AVLNode* rchild = root->right;
163     root->right = rchild->left;
164     rchild->left = root;
165 
166     rchild->height = max(height(root), height(rchild->right)) + 1;
167     root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
168 
169     return rchild;
170 }
171 
172 /*LR旋转
173 * 参数：
174 * root ： 失衡AVL树根节点
175 * 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
176 */
177 AVLNode* AVLTree::leftRightRotate(AVLNode* root)
178 {
179     root->left = rightRightRotate(root->left);    //先对左子树右右旋转
180     return leftLeftRotate(root);    //再对根结点左左旋转
181 }
182 
183 /*RL旋转
184 * 参数：
185 * root ： 失衡AVL树根节点
186 * 返回值 ： 调整后的AVL树根节点
187 */
188 AVLNode* AVLTree::rightLeftRotate(AVLNode* root)
189 {
190     root->right = leftLeftRotate(root->right);
191     return rightRightRotate(root);
192 }
193 
194 /*
195 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
196 *
197 * 参数说明：
198 *     root 插入新结点前AVL树的根结点
199 *     key 插入的结点的键值
200 * 返回值：
201 *     插入结点后AVL树的根节点
202 */
203 AVLNode* AVLTree::insert(AVLNode* root, int key)
204 {
205     if (root == NULL)
206         root = new AVLNode(key, NULL, NULL);
207     else if (key < root->key)    //插入左子树
208     {
209         root->left = insert(root->left, key);
210         if (height(root->left) - height(root->right) == 2)    //插入二叉树导致失衡
211         {
212             if (key < root->left->key)
213                 root = leftLeftRotate(root);
214             else root = leftRightRotate(root);
215         }
216     }
217     else if (key>root->key)        //插入右子树
218     {
219         root->right = insert(root->right, key);
220         if (height(root->right) - height(root->left) == 2)    //插入导致二叉树失衡
221         {
222             if (key > root->right->key)
223                 root = rightRightRotate(root);
224             else root = rightLeftRotate(root);
225         }
226     }
227     root->height = max(height(root->left), height(root->right)) + 1;
228     return root;
229 }
230 
231 /*
232 * 将结点插入到AVL树中，并返回根节点
233 *
234 * 参数说明：
235 *     root 删除结点前AVL树的根结点
236 *     node 要删除的结点
237 * 返回值：
238 *     删除结点node后AVL树的根节点
239 */
240 AVLNode* AVLTree::deleteNode(AVLNode* root, AVLNode* node)
241 {
242     if (root == NULL)
243         return NULL;
244 
245     if (node->key < root->key)        //要删除的结点在左子树
246     {
247         root->left = deleteNode(root->left, node);
248         if (height(root->right) - height(root->left) == 2)    //删除导致二叉树失衡
249         {
250             AVLNode* rightNode = root->right;
251             if (height(rightNode->left)>height(rightNode->right))
252                 root = rightLeftRotate(root);
253             else root = rightRightRotate(root);
254         }
255     }
256     else if (node->key > root->key)    //要删除的结点在右子树
257     {
258         root->right = deleteNode(root->right, node);
259         if (height(root->left) - height(root->right) == 2)    //删除导致二叉树失衡
260         {
261             AVLNode* leftNode = root->left;
262             if (height(leftNode->left) > height(leftNode->right))
263                 root = leftLeftRotate(root);
264             else root = leftRightRotate(root);
265         }
266     }
267     else    //找到了要删除的结点
268     {
269         if (root->left != NULL&&root->right != NULL)    //结点的左右子树均不为空
270         {
271             if (height(root->left) > height(root->right))
272             {
273                 /*
274                 * 如果tree的左子树比右子树高；
275                 * 则(01)找出tree的左子树中的最大节点
276                 *  (02)将该最大节点的值赋值给tree。
277                 *  (03)删除该最大节点。
278                 * 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身；
279                 * 采用这种方式的好处是：删除"tree的左子树中最大节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
280                 */
281 
282                 AVLNode* maxNode = maximus(root->left);
283                 root->key = maxNode->key;
284                 root->left = deleteNode(root->left, maxNode);
285             }
286             else
287             {
288                 /*
289                  * 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等，或右子树比左子树高1)
290                  * 则(01)找出tree的右子树中的最小节点
291                  *  (02)将该最小节点的值赋值给tree。
292                  *  (03)删除该最小节点。
293                  * 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身；
294                  * 采用这种方式的好处是：删除"tree的右子树中最小节点"之后，AVL树仍然是平衡的。
295                  */
296 
297                 AVLNode* minNode = minimus(root->right);
298                 root->key = minNode->key;
299                 root->right = deleteNode(root->right, minNode);
300             }
301         }
302         else
303         {
304             AVLNode* tmp = root;
305             root = (root->left != NULL) ? root->left : root->right;
306             delete tmp;
307         }
308     }
309     return root;
310 }
311 
312 /*销毁二叉树*/
313 void AVLTree::destroy(AVLNode* root)
314 {
315     if (root == NULL)
316         return;
317     destroy(root->left);
318     destroy(root->right);
319     delete root;
320 }

查看代码

2、源文件avltree.cpp

 1 #include "avltree.h"
 2 
 3 int main()
 4 {
 5     int a[] = { 3,2,1,4,5,6,7,16,15,14,13,12,11,10,8,9 };
 6     int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
 7 
 8     AVLTree* avlTree = new AVLTree();
 9     AVLNode* root = avlTree->getRoot();
10     for (int i = 0;i < len;i++)
11         root = avlTree->insert(root, a[i]);
12     
13     cout << "先序遍历：";
14     avlTree->preOrder(root);
15     cout << endl;
16 
17     cout << "中序遍历：";
18     avlTree->inOrder(root);
19     cout << endl;
20 
21     cout << "后序遍历：";
22     avlTree->postOrder(root);
23     cout << endl;
24 
25     cout << "删除结点4" << endl;
26     AVLNode* node = avlTree->search(root, 4);
27     if (node != NULL)
28         AVLNode* dnode = avlTree->deleteNode(root, node);
29 
30     cout << "删除结点4后先序遍历：";
31     avlTree->preOrder(root);
32     cout << endl;
33     cout << "删除结点4后中序遍历：";
34     avlTree->inOrder(root);
35     cout << endl;
36 
37     cout << "销毁AVL树" << endl;
38     avlTree->destroy(root);
39     return 0;
40 }

3、运行结果

先序遍历：7 4 2 1 3 6 5 13 11 9 8 10 12 15 14 16 
中序遍历：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
后序遍历：1 3 2 5 6 4 8 10 9 12 11 14 16 15 13 7 
删除结点4
删除结点4后先序遍历：7 5 2 1 3 6 13 11 9 8 10 12 15 14 16 
删除结点4后中序遍历：1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
销毁AVL树

四、小工具

这里分享一个二叉排序树的可视化小工具，来自http://www.cnblogs.com/bbvi/p/5104916.html。

五、参考

1、http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3577360.html

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原文地址：https://www.cnblogs.com/sench/p/7786718.html