newker训练营4

T1：

长度为n数组循环k次，求1<=l<=r<=n*k, l~r中不同权值个数的总和。

总长(i+1)*i/2,减去相同数：考虑相同数造成贡献，发现是减去上一个相同权值出现的位置下标。继承之前减去的。

算出长度<n的，>=n恒为cnt.

乘上系数：整个序列出现次数。

注意：n<i<n*2时，只计算跨区间的，还要减去不跨区间的。避免重复也要减去len>=n的。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define LL long long
#define pf(a) printf("%lld ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
#define int LL
int read();
#define N 200010
const int mod=1e9+7,inv2=500000004;
LL n,K;
int a[N],las[N],head[N],f[N];
map<int,int>mp;int cnt;
LL qpow(int x,int k){int s=1;x%=mod;for(;k;k>>=1,x=x*x%mod)if(k&1)s=s*x%mod;return s;}
signed main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
    n=read();K=read();
    F(i,1,n){
        a[i]=read();
        if(!mp[a[i]])mp[a[i]]=++cnt;
        a[i]=mp[a[i]];
        las[i]=head[a[i]];head[a[i]]=i;
    }
    F(i,n+1,n+n){a[i]=a[i-n];las[i]=head[a[i]];head[a[i]]=i;}
    LL ans=0,w=0,sum=0;/** ans=(ans%mod+mod)%mod;*/
    for(LL i=1;i<=n;++i){
        sum+=las[i];
        w=((i+1)*i/2-sum)%mod;
        if(i==n){w-=cnt;}
        f[i]=w;
        ans=(ans+f[i]*K)%mod;
    }
    sum%=mod;
    for(LL i=n+1;i<n+n;++i){
        sum+=las[i];
        w=((i+1)*i/2-sum-(i-n+1)*cnt-f[i-n])%mod;
        ans=(ans+w*(K-1))%mod;
    //  pf(sum);pf(w*(K-1));phn;
    }
    LL x=(n*K-n+1)%mod;
    w=(x+1)*x/2%mod;
    ans=((ans+w*cnt)%mod+mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
}
int read(){
    int s=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-s:s;
}
/*
g++ 1.cpp
./a.out
3 2
1 2 2
*/

T2：

树上差分、前缀和、dfs序的应用。

只询问p,q路径，可以n^2.没必要树形DP。

直接n^2枚举点对O(1)算距离即可。

考虑枚举点对i,j，O(1)统计。

求出以i为lca的路径数和经过i且不以i为lca的路径数。

u=lca(i,j)。

w=u子树和，减去i~j链上，加上u子树外，减去经过u且不以u为lca条数。

先往简单想。别过于套路，一看路径长直接树DP。

好题。

B@哥 真巨。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
}
typedef long long ll;
const int maxn=3005;
int n,p,q,tot,dex,fr[maxn],first[maxn],dep[maxn],f[maxn];
ll ans,res,dp[maxn],dis[maxn],g[maxn],h[maxn];
struct Road{
    int u,t,nxt;
}eage[maxn<<1];
void add(int x,int y) {eage[++tot]=(Road){x,y,first[x]};first[x]=tot;}
struct ST_Table{
    int p,f[maxn<<1][22],len[maxn<<1],bin[22];
    void init()
    {
        p=log(dex)/log(2)+1;
        for(int i=bin[0]=1;i<=p;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
        for(int i=1;i<=dex;++i) len[i]=log(i)/log(2);
        for(int j=1;j<=p;++j)
            for(int i=1;i+bin[j]-1<=dex;++i)
            {
                if(dep[f[i][j-1]]<dep[f[i+bin[j-1]][j-1]]) f[i][j]=f[i][j-1];
                else f[i][j]=f[i+bin[j-1]][j-1];
            }
    }
    int LCA(int x,int y)
    {
        if(fr[x]>fr[y]) swap(x,y);
        int l=len[fr[y]-fr[x]+1];
        if(dep[f[fr[x]][l]]<dep[f[fr[y]-bin[l]+1][l]]) return f[fr[x]][l];
        else return f[fr[y]-bin[l]+1][l];
    }
}ST;
ll Get_dep(int x,int y) {return dep[x]+dep[y]-2*dep[ST.LCA(x,y)];}
void frdfs(int x,int fa)
{
    ST.f[fr[x]=++dex][0]=x;dep[x]=dep[fa]+1;f[x]=fa;
    for(int i=first[x];i;i=eage[i].nxt)
        if(eage[i].t!=fa)
        {
            frdfs(eage[i].t,x);
            ST.f[++dex][0]=x;
        }
}
void redfs(int x,int fa)
{
    for(int i=first[x];i;i=eage[i].nxt)
        if(eage[i].t!=fa)
        {
            redfs(eage[i].t,x);
            dp[x]+=dp[eage[i].t];
        }
}
void lsdfs(int x,int fa)
{
    h[x]=h[fa]+g[x];
    for(int i=first[x];i;i=eage[i].nxt)
        if(eage[i].t!=fa)
        {
            lsdfs(eage[i].t,x);
            g[x]+=g[eage[i].t];
        }
}
int main()
{
    read(n);read(p);read(q);
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;++i)
    {
        read(x);read(y);
        add(x,y);add(y,x);
    }
    frdfs(1,0);
    ST.init();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1,lca;j<=n;++j)
            if(Get_dep(i,j)==p)
            {
                lca=ST.LCA(i,j);++g[lca];
                ++dp[i];++dp[j];--dp[lca];--dp[lca];
            }
    redfs(1,0);lsdfs(1,0);
    dp[0]=dp[1];g[0]=g[1];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            if(Get_dep(i,j)==q)
            {
                int lca=ST.LCA(i,j);
                ans+=g[lca]-(h[i]+h[j]-h[lca]-h[f[lca]]);
                ans+=g[1]-g[lca]-dp[lca];
                /** 经过该点且不以该点为lca的边数。*/
            }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

我的n^2递推，利用dfs序预处理lca.

下面是 B&哥 思路：g[i][j],表示以dfs序上ij位置两点为端点路径数。

用来计算u子树外的部分：由于dfs序是连续段，则i,j均不在u子树dfs序范围内即可。

g数组的处理有个细节调了半天，注释上了。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define LL long long
#define pf(a) printf("%d ",a)
#define PF(a) printf("%lld ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
int read();
#define N 3005
int n,p,q;
int to[N<<1],fir[N<<1],head[N],cnt;
void add(int x,int y){to[++cnt]=y;fir[cnt]=head[x];head[x]=cnt;}
int fa[N],dep[N],L[N],dfn[N],R[N],tot;
void dfs(int x,int Fa){
    dep[x]=dep[Fa]+1;fa[x]=Fa;L[x]=++tot;dfn[tot]=x;
    for(int i=head[x],v;i;i=fir[i])if(!dep[v=to[i]]){
        dfs(v,x);
    }
    R[x]=tot;
}
int lca[N][N];
LL w[N],g[N][N],sub[N],up[N],ans;
void push(int x){
    sub[x]=w[x];up[x]=up[fa[x]]+w[x];
    for(int i=head[x],v;i;i=fir[i])if((v=to[i])^fa[x]){
        push(v);sub[x]+=sub[v];
    }
}
/*g++ 2.cpp
./a.out
*/
void cal(int x,int y){
    int u=lca[x][y];
    ans+=sub[u];
    ans-=up[x]+up[y]-up[u]-up[fa[u]];
    int l=L[u],r=R[u];
    ans+=g[l-1][l-1];
    ans+=g[l-1][n]-g[l-1][r];
    ans+=g[n][l-1]-g[r][l-1];
    ans+=g[n][n]-g[n][r]-g[r][n]+g[r][r];
//    if(x==3&&y==5){PF(ans);}
}
int main(){
   freopen("b.in","r",stdin);
//    freopen("2.in","r",stdin);//freopen("2.out","w",stdout);
    n=read();p=read();q=read();
    for(int i=1,u,v;i<n;++i){
        u=read();v=read();add(u,v);add(v,u);
    } 
    dfs(1,0);
    F(i,1,n){
        lca[i][i]=i;
        F(j,L[i]+1,R[i])lca[i][dfn[j]]=lca[dfn[j]][i]=i;
        for(int j=L[i]+1;j<=R[i];j=R[dfn[j]]+1){
            for(int k=j;k<=R[dfn[j]];++k){
                for(int h=R[dfn[j]]+1;h<=R[i];++h){
                    lca[dfn[k]][dfn[h]]=lca[dfn[h]][dfn[k]]=i;
                }
            }
        }
    }
    F(i,1,n){
        F(j,1,n){
            if(dep[i]+dep[j]-dep[lca[i][j]]*2==q){
                ++w[lca[i][j]];++g[L[i]][L[j]];
                /** 注意：这里是g[L[i]],加到dfs序对应位置。*/
            }
        }
    }
    F(i,1,n){
        F(j,1,n){
            g[i][j]=g[i][j-1]+g[i-1][j]+g[i][j]-g[i-1][j-1];
        }
    }
 //   F(i,1,n)pf(dfn[i]);phn;phn;
  //  F(i,1,n){F(j,1,n)PF(g[i][j]);phn;}phn;
    push(1);
    F(i,1,n){
        F(j,1,n){
            if(dep[i]+dep[j]-dep[lca[i][j]]*2==p){
                cal(i,j);
  //              pf(i);pf(j);pf(ans);phn;
            }
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
}
int read(){
    int s=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-s:s;
}
/*
g++ d2.cpp
./a.out
g++ 2.cpp
./a.out
g++ bsgs.cpp
./a.out
10 2 3 
2 1 
3 1 
4 1 
5 3 
6 3 
7 6 
8 6 
9 6 
10 7
g++ 2.cpp
./a.out
8 2 2
1 2
1 3
2 4
2 5
4 6
4 7
5 8
g++ 2.cpp
./a.out
5 2 1
1 2
2 3
3 4
2 5
g++ 2.cpp
./a.out
4 1 1
1 2
2 3
3 4
*/

 T3:

DP：f[j][k]表示最大值为j，权值k次方的和。
考虑在已经扫过的一段序列后面增加一个的贡献：
w^k->(w+1)^k
=sigma:w^h*C(k,h).
则对于每个k次方可以求和，共同计算。

纯DP N^2.线段树优化，类似队长快跑。

#include<bits/stdc++.h>
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define LL long long
#define pf(a) printf("%d ",a)
#define PF(a) printf("%lld ",a)
#define phn puts("")
using namespace std;
#define int LL 
int read();
#define N 100010
#define int LL 
const int mod=1e9+7;
int n,m,a[N],f[N][22],sum[22],plu[22],C[22][22];
int MO(int x){return x<mod?x:x-=mod;}
/**
DP：f[j][k]表示最大值为j，权值k次方的和。
考虑在已经扫过的一段序列后面增加一个的贡献：
w^k->(w+1)^k
=sigma:w^h*C(k,h).
则对于每个k次方可以求和，共同计算。
*/
struct SEG{
    struct nodi{
        int l,r,g,w[22];
    }s[N<<2];
    #define sx s[x]
    #define lc s[x<<1]
    #define rc s[x<<1|1]
    #define MIT int z=sx.l+sx.r>>1
    void biu(int x,int l,int r){
        sx.l=l;sx.r=r;sx.g=1;
        if(l==r)return ;MIT;
        biu(x<<1,l,z);biu(x<<1|1,z+1,r);
    }
    void down(int x){
        if(sx.g>1){
            F(i,0,20){lc.w[i]=lc.w[i]*sx.g%mod;rc.w[i]=rc.w[i]*sx.g%mod;}
            lc.g=lc.g*sx.g%mod;rc.g=rc.g*sx.g%mod;sx.g=1;
        }
    }
    void up(int x){
        F(i,0,20)sx.w[i]=MO(lc.w[i]+rc.w[i]);
    }
    void mpl(int x,int l,int r){
        if(l<=sx.l&&sx.r<=r){
            F(i,0,20)sx.w[i]=sx.w[i]*2%mod;
            sx.g=sx.g*2%mod;
            return ;
        }MIT;down(x);
        if(l<=z)mpl(x<<1,l,r);if(r>z)mpl(x<<1|1,l,r);up(x);
    }
    void ask(int x,int l,int r){
        if(l<=sx.l&&sx.r<=r){
            F(i,0,20)sum[i]=MO(sum[i]+sx.w[i]);
            return ;
        }MIT;down(x);
        if(l<=z)ask(x<<1,l,r);if(r>z)ask(x<<1|1,l,r);
    }
    void add(int x,int p){
        if(sx.l==sx.r){
            F(i,0,20)sx.w[i]=MO(sx.w[i]+plu[i]);
            return ;
        }MIT;down(x);
        add((p<=z?(x<<1):(x<<1|1)),p);up(x);
    }
}sg;
signed main(){
//    freopen("c.in","r",stdin);
    /** 区间乘2,单点加，区间求和。*/
    n=read();m=read();
    F(i,1,n)a[i]=read();
    C[0][0]=1;
    F(i,1,20){
        C[i][0]=1;F(j,1,i)C[i][j]=MO(C[i-1][j-1]+C[i-1][j]);
    }
    sg.biu(1,1,n);
    F(i,1,n){
        F(k,0,m)plu[k]=1;
//        F(j,a[i]+1,n)F(k,0,m)f[j][k]=MO(f[j][k]<<1);
        sg.mpl(1,a[i]+1,n);
//        F(j,1,a[i]-1)F(k,0,m)w[k]+=f[j][k];
        sg.ask(1,1,a[i]-1);
        F(k,0,m){
            F(h,0,k){
                plu[k]=(plu[k]+sum[h]*C[k][h])%mod;
            }
        }
        sg.add(1,a[i]);
        F(k,0,m)sum[k]=plu[k]=0;
    }
    LL ans=(sg.s[1].w[m]%mod+mod)%mod;
    printf("%lld
",ans);
}
int read(){
    int s=0,f=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))f=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch))s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return f?-s:s;
}
/*
g++ 3.cpp
./a.out
3 2
1 3 2
*/