数论知识点 - 庄昊霖 - 博客园 (cnblogs.com)
一、 迪利克雷卷积
首先记住三个完全积性函数
[id(n) = n \
I(n) = 1 \
epsilon(n) = [ n==1 ]
]
元函数 (epsilon) 是迪利克雷卷积的单位
定义迪利克雷卷积
[f*g (n) = sum_{d|n}f(d)g(dfrac n d)
]
满足交换律，分配律，结合律
[d(n) = sum_{d|n} 1 = I*I \
sigma(n) = sum_{d|n}d = id*I
]
莫比乌斯函数有个性质
[u*I = sum_{d|n}mu(d) = epsilon = [n == 1]
]
设
[n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}
]
[sum_{d|n}mu(d)=sum_{i=0}^k(-1)^iC_k^i=[n==1]
]
二、 莫比乌斯反演
I:
[F(n) = sum_{d|n}f(d) o f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(dfrac nd)
]
II:
[F(n)=sum_{n|d}f(d) o f(n) = sum_{n|d}mu(dfrac dn)F(d)
]
三、 杜教筛
设
[h = f * g
]
记 (S(n) = sum_{i=1}^{n}f(i))
[sum_{i=1}^{n}h(i)=sum_{i=1}^{n}sum_{d|i}g(d)cdot f(frac{i}{d})\ o =sum_{d=1}^{n}g(d)cdotsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}f({i})
]
[ o sum_{i=1}^{n}h(i)=sum_{d=1}^{n}g(d)cdot S(lfloorfrac{n}{d}
floor)
]
[sum_{i=1}^{n}h(i)=g(1)cdot S(n)+sum_{d=2}^{n}g(d)cdot S(lfloorfrac{n}{d}
floor)
]
[ o g(1)S(n)=sum_{i=1}^{n}h(i)-sum_{d=2}^{n}g(d)cdot S(lfloorfrac{n}{d}
floor)
]
四、 Min25
思想：
[sum_{i=1}^nf(i) = sum_{i in Prime}f(i) + sum_{i
otin Prime}f(i)
]
分为两个部分，第一部分是所有素数，第二部分是所有的合数
第一部分
搞来一个这样的函数 (g(n,j))
[g(n,j) = sum_{i=1}^n[i in Prime or minp(i) > P_j] i^k
]
所有的素数加上满足(minp(i) > P_j) 的所有 (i)
([1-n]) 中所有质数的 (k) 次方之和就是 (g(n,x)) ，(P_x) 是最后一个小于等于
(sqrt n) 的质数
考虑 (g(n,j)) 的转移
[g(n,j) = g(n,j-1) - P_j^kigg(g(dfrac n {P_j},j-1) -g(P_j-1,j-1)igg)
]
这个东西自己在纸上写一些体会一下，注意 (P_j) 筛去的第一个数是 (P_j^2) , 第二个数不是 (P_j^2+ P_j)
第二部分
设
[S(n,x) = sum_{i=1}^n[minp(i) > P_x]f(i)
]
可以把 (S(n,x)) 也分成两部分，一部分是所有大于 (P_x) 的质数，另一部分是最小质因数大于 (P_x) 的合数，枚举最小质因子
[S(n,x) = g(n) - sp_x + sum_{p_k^e le n &k>n}f(p_k^e)igg(S igg(dfrac n {p_k^e}igg) + [e
e 1]igg)
]
当 (e = 1) 的时候， (P_k) 在前面枚举过了，不等于 (1) 时，需要加上 (P_k^e)
存下所有可能的 (lfloordfrac n x floor) , 做一个映射
[idx(x)= egin{cases}ind1[x] , xle sqrt n \ind2[n/x], x>sqrt nend{cases}
]