P2764 [网络流24题]最小路径覆盖问题[最大流]

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这题有个转化，求最少的链覆盖→即求最少联通块。

设联通块个数$x$个,选的边数$y$,点数$n$个

那么有 $y=n-x$   即  $x=n-y$

而n是不变的,目标就是在保证每个点入度、出度不大于1的前提下让选的边尽可能地多。

下面网络流建模。

利用二分图匹配建图，左右两点集都包含 n 个点，左点集代表 u 的出度，右点集代表 u 的入度。对于原图中的边 (u,v)，从 左边的u点 向 右边的v点 连一条容量为 1 的 边，左点集与超级源点、右点集与超级汇点都分别连一条容量 1 的边，然后从源点做最大流，容量设1保证了我们每个点只流向另外唯一一个点，不会重叠。最大流即为所选边在满足条件下的最多数量。答案就是$n-y$。

spj那个的话就只要找到每一块的起点，也就是入度为0，这个看代码。找到起点就往后查残量为0的边顺着跑到底就行啦。

注意，这个只能是对DAP有效。有环的话就不行了，连通块会多余边会被流过，可以画一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
template<typename T>inline T read(T&x){
    x=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(isalpha(c))return x=(int)c;
    while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();return x;
}
const int N=150+7,M=10000+7,INF=0x3f3f3f3f;
int w[M<<1],v[M<<1],Next[M<<1],Head[N<<1],cur[N<<1],dis[N<<1],tot=1,s,t,n,m;
inline void Addedge(int x,int y,int z){
    v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
    v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot,w[tot]=0;
}
#define y v[j]
inline char bfs(){
    queue<int> q;q.push(s),memset(dis,0,sizeof dis),dis[s]=1;
    for(register int i=1;i<=(n<<1)+2;++i)cur[i]=Head[i];
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!dis[y]){
            dis[y]=dis[x]+1,q.push(y);
            if(y==t)return 1;
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x,int flow){
    if(!flow||x==t)return flow;
    int rest=flow,k;
    for(register int j=cur[x];j&&rest;cur[x]=j,j=Next[j])if(w[j]&&dis[y]==dis[x]+1){
        if(!(k=dinic(y,_min(rest,w[j]))))dis[y]=0;
        rest-=k,w[j]-=k,w[j^1]+=k;
    }
    return flow-rest;
}
#undef y
int x,y,ans;
inline void print(int x){
    printf("%d ",x);
    for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(v[j]<s&&!w[j])print(v[j]-n);
}

int main(){//freopen("tmp.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
    read(n),read(m);s=2*n+1,t=2*n+2;
    for(register int i=1;i<=n;++i)Addedge(s,i,1);
    for(register int i=n+1;i<=n*2;++i)Addedge(i,t,1);
    for(register int i=1;i<=m;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y+n,1);
    while(bfs())ans+=dinic(s,INF); ans=n-ans;
    for(register int i=n+1;i<s;++i){//  s <==> n*2+1  
        int tmp=0;  
        for(register int j=Head[i];j;j=Next[j])if(v[j]<=n&&w[j]){tmp=1;break;}
        if(!tmp)print(i-n),puts("");
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}