UVA 10253 Seris-Parallel Networks

https://vjudge.net/problem/UVA-10253

题目

串并联网络有两个端点，一个叫源，一个叫汇，递归定义如下。

（1）一条单独的边是串并联网络。

（2）若G1和G2是串并联网络，把他们的源和汇分别接在一起也能得到串并联网络。

（3）若G1和G2是串并联网络，把G1的汇和G2的源并在一起也能得到串并联网络。

其中规则2说的是并联，规则3说的是串联。

串联的各部分可以改变顺序，并联的各部分可以改变顺序，都看作一种串并联网络。

输入n，输出有多少个n条边的串并联网络。$1leqslant nleqslant 30$

题解

每个串并联网络都可以看成一棵树，每次串并联都生成一个节点，串并联的部分是它的儿子，叶子是单独的边

所以问题可以转换为n个叶子能得到多少种树，兄弟顺序无关，每个节点要么没有儿子，要么大于两个儿子

那么可以用背包，划分第一层

dp[i][j]表示有i个叶子，现在划分有j个叶子的子树，有多少种方法

f(x)表示含x个叶子的树有多少种，$f(x)=dp[x][x-1]$，因为每个节点要么没有儿子，要么大于两个儿子

$dp[i][j]=sum dp[i-j*n][j-1] imes C(f(j)+n-1,n)$

得到树以后还需要指定第一层是串联还是并联

还有一些边界情况

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define REP(i,a,b) for(int i=(a); i<(b); i++)
#define REPE(i,a,b) for(int i=(a); i<=(b); i++)
#define PERE(i,a,b) for(int i=(a); i>=(b); i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll dp[37][37],f[37];
ll C(ll n, ll m) {
	double ans=1;
	REP(i,0,m) {
		ans*=n-i;
	}
	REPE(i,1,m) {
		ans/=i;
	}
	return ll(ans+0.5);
}
int main() {
	REPE(i,0,30) dp[0][i]=1;
	REPE(i,1,30) dp[i][0]=0,dp[1][i]=1;
	f[1]=1;

	REPE(j,1,30) {
		REPE(i,2,30) {
			dp[i][j]=0;
			for(int n=0; n*j<=i; n++) {
				dp[i][j]+=dp[i-j*n][j-1]*C(f[j]+n-1,n);
			}
		}
		f[j+1]=dp[j+1][j];
	}
	int N;
	while(~scanf("%d", &N) && N) {
		printf("%lld
", N==1?1:f[N]*2);
	}
}