[学习笔记] 行列式与矩阵树定理

[学习笔记] 行列式与矩阵树定理

行列式

线性代数真是好东西

定义

设 (n) 阶方阵 $ A$ 的行列式为 (det(A)), 则:

[det(A)=sum_{pin P} ( -1)^{delta(p)} prod_{k=1}^nA_{k,p_k} ]

其中 (P) 为所有 (n) 阶排列组成的集合, (delta(p)) 表示排列 (p) 中的逆序对个数.

本质上是 (n) 维欧氏空间应用线性变换 (A) 后 (n) 维超体积产生的变化系数.

性质

只说几个比较显然比较常用的好了...

1. (|A|=|A^T|). (定义式并没有行和列的区别)

2. (|AB|=|A| imes|B|). (从本质理解. 矩阵乘法相当于连续应用两个线性变换, 体积变化应该相乘.)

3. 行列式某一行/列都乘 (k), 行列式值变为原来 (k) 倍. (定义中的和式的每一项都恰好包含某一行中的一项, 于是刚好每一项都多了个 (k).)

   [D={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1n}\vdots &vdots &dots &vdots \{color {blue}k}a_{i1}&{color {blue}k}a_{i2}&dots &{color {blue}k}a_{in}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}}={color {blue}k}{egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1n}\vdots &vdots &dots &vdots \a_{i1}&a_{i2}&dots &a_{in}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}}={color {blue}k}D_{1} ]

4. 行列式某两行/列线性相关, 则行列式值为 (0). (从行列式的本质理解. 非满秩的矩阵会降维, 于是体积就被压没了.)

   [{egin{vmatrix}{color {blue}2}&{color {blue}2}&dots &{color {blue}2}\{color {blue}8}&{color {blue}8}&dots &{color {blue}8}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}}=0 ]

5. 交换行列式某两行/列, 行列式值变号. (定义式中的符号和逆序对有关.)

   [{egin{vmatrix}vdots &vdots &vdots &vdots \{color {blue}{a_{i1}}}&{color {blue}{a_{i2}}}&dots &{color {blue}{a_{in}}}\{color {green}{a_{j1}}}&{color {green}{a_{j2}}}&dots &{color {green}{a_{jn}}}\vdots &vdots &vdots &vdots \end{vmatrix}}=-{egin{vmatrix}vdots &vdots &vdots &vdots \{color {green}{a_{j1}}}&{color {green}{a_{j2}}}&dots &{color {green}{a_{jn}}}\{color {blue}{a_{i1}}}&{color {blue}{a_{i2}}}&dots &{color {blue}{a_{in}}}\vdots &vdots &vdots &vdots \end{vmatrix}} ]

6. 在行列式中, 某一行/列的每个元素是两数之和, 则此行列式可拆分为两个相加的行列式. (拆定义式, 把被更改的那一行中加起来的两个数拆开分配到两个和式中.)

   [{egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1n}\vdots &vdots &dots &vdots \{color {blue}{a_{i1}}}+{color {green}{b_{i1}}}&{color {blue}{a_{i2}}}+{color {green}{b_{i2}}}&dots &{color {blue}{a_{in}}}+{color {green}{b_{in}}}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}}={egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1n}\vdots &vdots &dots &vdots \{color {blue}{a_{i1}}}&{color {blue}{a_{i2}}}&dots &{color {blue}{a_{in}}}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}}+{egin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&dots &a_{1n}\vdots &vdots &dots &vdots \{color {green}{b_{i1}}}&{color {green}{b_{i2}}}&dots &{color {green}{b_{in}}}\vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&dots &a_{nn}end{vmatrix}} ]

7. 结合性质 4/6 的推论: 某一行/列对位加上另一行/列的 (k) 倍, 行列式值不变. (先用性质 6 拆成两个行列式, 然后第二个行列式显然不满秩所以值为 0.)

   [{egin{vmatrix}vdots &vdots &vdots &vdots \a_{i1}&a_{i2}&dots &a_{in}\a_{j1}&a_{j2}&dots &a_{jn}\vdots &vdots &vdots &vdots \end{vmatrix}}={egin{vmatrix}vdots &vdots &vdots &vdots \a_{i1}&a_{i2}&dots &a_{in}\a_{j1}{color {blue}{+ka_{i1}}}&a_{j2}{color {blue}{+ka_{i2}}}&dots &a_{jn}{color {blue}{+ka_{in}}}\vdots &vdots &vdots &vdots \end{vmatrix}} ]

8. 上下三角矩阵/对角矩阵的行列式为对角线上元素之积. (显然除了对角线上的情况其他的排列 (p) 都会造成 (A_{i,p_i}) 命中至少一个0.)

   [{egin{vmatrix}{color {blue}{a_{11}}}&0&dots &0\0&{color {blue}{a_{22}}}&dots &0\vdots &vdots &ddots &vdots \0&0&dots &color {blue}{a_{nn}}end{vmatrix}}=prod_{k=1}^ncolor {blue}{a_{kk}} ]

计算

按照定义算需要 (O(n imes n!)) 次乘法. 没有应用价值. 考虑行列式的性质.

利用上面性质 5/7 即可计算对行列式应用初等行变换后对原行列式值产生的影响.

再加上性质 8, 我们只要用初等行变换把行列式消成三角阵就可以算了. 使用高斯消元即可解决. 时间复杂度 (O(n^3)).

矩阵树定理

又称 Kirchhoff's Theorem.

FAQ: 为啥搜索 Kirchhoff 只能找到一个物理学家?

A: 没错这个定理就是物理学家 Gustav R. Kirchhhoff 研究电路的时候顺手证的.

内容

一个 (n) 个点的无向图 (G) 的生成树个数即为它的 Laplacian 矩阵的任一余子式的行列式值.

其中 Laplacian 矩阵在 (A_{i,i}) 处为点 (i) 的度数, (A_{i,j}) 处若点 (i) 和 (j) 邻接则值为 (-1), 否则为 (0).

或者说 Laplacian 矩阵等于度数矩阵减去邻接矩阵.

这个定理也适用于多重图(非简单图), 只要把所有自环都丢掉然后把 (-1) 改为 (i) 和 (j) 之间边的个数的相反数就好了.

于是直接用就完了qaq...