树的启发式合并

树的启发式合并可以解决很多不涉及修改的子树查询问题。

每次向上合并时，轻链并入重链，可以使得总复杂度由(O(n^2))变成(O(nlog(n)))。因为每次加入重链，子树大小都会翻倍。

例题：codeforces 600E

给定一棵树，每个节点都有一个颜色值。
定义一种颜色值占领一棵子树，当且仅当这种颜色是这棵子树中出现最多的颜色。

问每个节点为根的子树中，占领这棵子树的颜色值之和。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define FOPI freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOPO freopen("out.txt", "w", stdout)

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pr;
const int maxn = 1e5 + 100;

int n;
vector<int> v[maxn];
map<int, int> col[maxn];
LL ans[maxn];
int maxt[maxn];

void merge(int x, int y)
{
    if (col[x].size() < col[y].size()) {
        swap(col[x], col[y]);
        ans[x] = ans[y];
        maxt[x] = maxt[y];
    }

    for (auto val : col[y]) {
        int a = val.first, b = val.second;
        col[x][a] += b;

        if (col[x][a] > maxt[x]) {
            maxt[x] = col[x][a];
            ans[x] = a;
        }
        else if (col[x][a] == maxt[x]) {
            ans[x] += a;
        }
    }
    col[y].clear();
}

void dfs(int x, int from)
{
    for (int y : v[x]) {
        if (y == from) continue;
        dfs(y, x);
        merge(x, y);
    }
}

int main()
{
    //FOPI;

    scanf("%d", &n);
    int x, y;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        col[i][x] = 1;
        ans[i] = x;
        maxt[i] = 1;
    }

    for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        v[x].push_back(y), v[y].push_back(x);
    }

    dfs(1, 0);

    printf("%lld", ans[1]);
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        printf(" %lld", ans[i]);
    puts("");
}