• 复变函数1


    复变函数的导数:

    [f'(z_0)=lim_{Delta z o0}frac{f(z_0+Delta z)-f(z_0)}{Delta z} ]

    • 求导时规则和实变量函数一样,把i当作常数。

    • 复变函数(f(z)=u+iv)(z)可导(u,v)在该点可导且满足:(柯西-黎曼方程)

    [egin{equation} frac{part{u}}{part{x}}=frac{part{v}}{part{y}}\ frac{part{u}}{part{y}}=-frac{part{v}}{part{x}} end{equation}\ f'(z)=frac{part{u}}{part{x}}+ifrac{part{v}}{part{x}}\ =frac{part{u}}{part{y}}-ifrac{part{v}}{part{y}} ]

    解析区域:

    (f(z)=u+iv)在区域(mathcal{D})内解析 = (u,v)在区域(mathcal{D})内可导且满足CR方程 = (f(z))在区域内处处可导。

    1. 写出实部虚部;
    2. 带入CR方程,
    3. 求出解析区域。(若可导区域是一条直线或点,则不可解析)。

    调和函数:

    调和函数:(frac{part^2{phi}}{part{x^2}}+frac{part^2{phi}}{part{y^2}}=0);

    解析函数(f(z)=u+iv)满足:

    [frac{part^2{u}}{part{x^2}}+frac{part^2{u}}{part{y^2}}=0\ frac{part^2{v}}{part{x^2}}+frac{part^2{v}}{part{y^2}}=0 ]

    (f(z))的虚部(v)称为实部(u)的共轭调和函数;

    复数列的极限:

    • 复数列({alpha_n=a_n+ib_n})收敛 = (lim{a_n}=a,lim{b_n}=b(n oinfin);lim_{n oinfin}alpha_n=a+ib);
    • 复数列收敛 = 实部、虚部组成的数列均收敛。

    例:设数列(alpha_n=frac{n}{n+1}+i(1+frac1{n})^{-2n}),则数列的极限:

    [lim{a_n}=1\lim{b_n}=e^{-2}\ lim_{n oinfin}alpha_n=1+ie^{-2} ]

    求积分

    • 简单方法

    [int_0^1zsin{z}dz=-cos{z}z|_0^1+int_0^1coszdz=sin1-cos1 ]

    分别沿(y=x,y=x^2),计算基分(int_0^{1+i}(x^2+iy)dz);

    [int_0^{1+i}(x^2+iy)d(x+iy)\=int_0^{1}(t^2+it)dt(1+i)=-frac16+frac56i ]

    后者同理;

    • 柯西-古萨基本定理
    1. (c:{|z-1|=frac12}),则:(oint_{c}frac{cos{z}}{z^3}dz=\_0\_)

    (f(z))在c 围成的区域内解析,则(oint_{c}f(z)dz=0)

    1. (oint_{|z|=1}frac1{cos{z}}dz)=0;

    [cos{z}=0 时,z=fracpi2+kpi otin{|z|=1} ]

    因此,处处解析。

    • 柯西积分公式
    1. (oint_{c}frac{e^z}{z}dz,c:{|z|=1})=(2pi i)

    (f(z))在曲线c的内部解析,(z_0)在c的内部:

    [f(z_0)=frac1{2pi i}oint_cfrac{f(z)}{z-z_0}dz ]

    所以,由于(e^z=f(z))在c内部解析,则:

    [2pi icdot e^0=oint_{|z|=1}frac{e^z}{z-0}dz=oint_{c}frac{e^z}{z}dz ]

    1. (oint_{|z|=3}frac{z+1}{z(z-i)}dz)=

    (c_1,c_2)分别是以(z=0,z=i)为圆心的两个小圆域;

    [J=oint_{c_1}frac{frac{z+1}{(z-i)}}{z}dz+oint_{c_2}frac{frac{z+1}{z}}{z-i}dz\ =2pi icdotfrac{z+1}{z-i}|_{z=0}+2pi icdotfrac{z+1}{z}|_{z=i}\ =2pi i ]

    • n阶导数(一般用来求积分)

    (f(z))在取线c 内部解析,(z_0)在c 内部

    [f^{(n)}(z_0)=frac{n!}{2pi i}oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz ]

    一般用来求积分:

    [frac{2pi i}{n!}cdot f^{(n)}(z_0)=oint_cfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz ]

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