∑(O_O)??
这是一篇极为生涩又不那么严肃的简介。
逻辑是啥，能吃吗？
∑ ?
在数学世界经常看到形如：(a_1+a_2+cdots+a_n)的式子，为了方便起见，我们定义符号：
[sum_{i=1}^na_i::=a_1+a_2+cdots+a_n
]
其中(Sigma)称为连加号。
- 可以这么写：
[sum_{iinN^+}a_i
]
- 也可以这么写：
[sum_{spades=1}^Nlacksquare_{spades}
]
应当注意到，只要不引起异意，那么用什么作为指标是任意的，他只起到辅助作用，当还原为数列求和时，指标变量并不会出现。
∑ ∑ ?
有时候，连加的数字由两个指标共同编号，于是我们需要用双重连加号：
[egin{align}
sum_{i=1}^ssum_{j=1}^na_{ij}=&sum_{i=1}^s(a_{i1}+a_{i2}+cdots+a_{in})\
=&(a_{11}+a_{12}+cdots+a_{1n})\
&+(a_{21}+a_{22}+cdots+a_{2n})\
cdots\
&+(a_{s1}+a_{s2}+cdots+a_{sn})
end{align}
]
因为数的假发满足交换律与结合律，所以上述式子可以转化为：
[sum_{i=1}^ssum_{j=1}^na_{ij}=
egin{array}
(a_{11}+a_{12}+cdots+a_{1n})\
+(a_{21}+a_{22}+cdots+a_{2n})\
cdots\
+(a_{s1}+a_{s2}+cdots+a_{sn})
end{array}quad
Leftrightarrowquad
egin{array}
(a_{11}+a_{21}+cdots+a_{s1})\
+(a_{12}+a_{22}+cdots+a_{s2})\
cdots\
+(a_{1n}+a_{2n}+cdots+a_{sn})
end{array}=sum_{j=1}^nsum_{i=1}^sa_{ij}
]
想必细心的小朋友们已经注意到了在双重连加号中，连加号的次序可以颠倒，holy high这都能看出来哒，那我们不妨趁热打铁，通过一个练习来验证一下自己！
设(A=(a_{ij})_{m imes n},B=(b_{ij})_{n imes m})证明：
[tr(AB)=tr(BA) ]
- 直接看答案的人没我帅：
由矩阵乘法公式得到：
[AB=(c_{ij})_{m imes m}=(sum_{t=1}^na_{it}b_{tj})_{m imes m} ]注意到：
[tr(AB)=sum_{i=1}^m(AB)_{ii} =sum_{i=1}^m(sum_{t=1}^na_{it}b_{ti}) ]同理,
[tr(BA)=sum_{i=1}^n(sum_{t=1}^mb_{it}a_{ti}) ]于是欲证明(tr(AB)=tr(BA))，只需证明：
[sum_{i=1}^m(sum_{t=1}^na_{it}b_{ti})=sum_{i=1}^n(sum_{t=1}^mb_{it}a_{ti}) ]
- ( ightrightarrows)
[egin{align} tr(AB)=&sum_{i=1}^m(sum_{t=1}^na_{it}b_{ti})&由于实数相乘可以交换位置\ =&sum_{i=1}^m(sum_{t=1}^nb_{ti}a_{it})&由于双重连加号可以交换次序\ =&sum_{t=1}^nsum_{i=1}^mb_{ti}a_{it}\ =&sum_{t=1}^n(sum_{i=1}^mb_{ti}a_{it})\ =&sum_{t=1}^n(BA)_{tt}\ =&tr(BA) end{align} ]则，一条及其不严谨的证明就展示在你眼前了/////可以给出一个推论。
在保证挪动矩阵后矩阵乘积仍然定义良好的情况下，用(F(i))表示第(i)个相乘的矩阵
[tr(prod_{i=1}^nF^{(i)})=tr(F^{(n)}prod_{i=1}^{n-1}F^{(i)}) ]
如果想搞事情的话
[sum_{i=1}^nsum_{i<j}a_{ij}=a_{12}+(a_{13}+a_{23})+...+(a_{2n}+a_{3n}+...+a_{n-1,n})
]
还有：
若有两个多项式：
[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\
g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_0
]
则(f(x)g(x))对应项(x^t)的系数就是：
[sum_{i+j=t}a_ib_j
]