KMP算法是目前应用非常广泛的一种字符串匹配算法，因为其代码量比较少，相较传统的解法又多了一个初学会比较陌生的辅助数组，所以在刚接触的情况下比较难以理解。
需要说明的是，kmp算法有非常多的改进或衍生版本，看每一个版本的说明时建议看到底再看其它版本，防止概念混淆。比如 next 数组的定义，某些版本由 prefix 数组演变而来，而有些直接将 prefix 数组当做 next 数组使用（比如本博客）。
下面我们从字符串匹配的暴力解法开始，看一下从传统暴力解法到 KMP 算法的演变思路。首先来个总结，这部分如果对kmp已经有一定的了解可以看下，否则可以直接略过。
理解算法的思路我们应该去把握核心概念和思想，个人理解，kmp 算法的核心是通过 target 数组本身的重复结构，在回溯 source 数组时直接回溯到最近的一个可以作为 target 数组头元素且后续已确定的元素可以作为 target 数组头元素的后继元素的元素，略过无效元素的比对。
而如何找到最近的有效的可以作为 target 头元素的元素则是实现上述思想的核心问题，解决这个问题我们依靠的是 next 数组。
next 数组的意义是，当 source i到j 与 target m到n 已经匹配时，我们可以通过 target 的 m 到 n 完全确定 source i到j 的值，这样我们只需要研究 target 的 m 到 n 中哪些元素可以作为新一轮比对中 target 的开端数组，便可以求出在 source 中 j 需要回退的距离。
next 数组的语义是，如果当前比对的两个元素是 source[i] 与 target[j] 发生失配，next[j] 表示 target[j] 可以作为 target 中某个元素下标为 n ，而我们可以保证在 source 中，target[0] - target[n] 与 source[i-n] - source[i] 是完全匹配的，所以 i 可以直接跳转到 source[i-n]。也就是说，next[j] 表示 target[j] 可以作为 target 的第 n 个元素，n 之前的元素我们无需再进行比对。
基于以上思路，next 数组求解的 JS 实现如下：
function kmpNext(target){ var length=target.length; //创建 next 数组 var nextArr=new Array(length); nextArr[0]=0; //数组下标指针 i 起始位置为 0，随着比对结果调整 i 的指向 var i = 0; //nextArr 数组下标，依次填充 nextArr。分两种情况:target[i]==target[j]与target[i]!=target[j] for(var j=1;j<length;j++){ //如果 j 指向的元素可以作为第 i 个元素 if(target[i]==target[j]){ i++; nextArr[j]=i; }else{ //如果 j 指向的元素不能作为第 i 个元素，能否作为第 i 个元素的前驱元素 while(i>0&&target[i]!=target[j]){ //从上一个可以作为 nextArr[i-1] 指向的元素开始匹配，查看 target[j] 是否可以作为 target[next[i-1]+1] i=nextArr[i-1]; } if(i>0){ nextArr[j]=nextArr[i]+1; i++; }else{ //如果 i 直接回退到 0 ，查看target[j] 是否可以作为 target[0] if(target[0]==target[j]){ nextArr[j]=1; i++; }else{ nextArr[j]=0; } } } } return nextArr; }
关键在红框部分：
下面我们正式从 0 开始：
首先我们有一个源字符串 source ，和一个目标字符串 target，我们想要知道 source 中是否包含 target，以及如果包含的话，target 在 source 中的位置。
按照暴力的解法，我们的思路是，维护两个指针 i 和 j ，分别指向 source 和 target 的第零个元素。
对 i 和 j 指向的元素进行比较，如果相同，i 和 j 同时后移一位继续比较，如果不同， i 恢复为 i - j + 1 ，而 j 恢复为 0 。也就是 target 从头开始与 source 的下一个 i 进行比较。
我们看一下比较的过程：
首先我们初始化两个指针 i 与 j ，将其分别指向 source 与 target 的头元素：
我们发现两个元素都是 a ，是相等的，i 与 j 同时后移：
第二个元素时 b ，也相等，继续后移：
还是相等，继续后移：
现在我们发现，i 与 j 指向的元素不再相等了，也就是说，i 从零开始与 target 匹配是匹配不上的，我们尝试 i 从 1 开始与 target 进行匹配：
就这样，我们开始了新一轮的匹配，整个比对过程周而复始的重复上述步骤，最坏的情况下需要将 以 i （0 到 length-4）为开头的子串均与 target 进行比较一次，如果 source 长度为 m ，target 长度为 n ，那么该算法的时间复杂度为 O( m*n )。
暴力解法JAVA实现如下：
/** * @Author Nxy * @Date 2020/2/16 17:47 * @Param source:源字符串数组，target:目标字符串数组 * @Return -1：target 不是 source 的子串；其它返回值：target 在 source 中的位置 * @Exception * @Description 判断目标字符串是否为源字符串子串 */ public static final int isSonStr(char[] source, char[] target) { if (target == null || source == null) { throw new RuntimeException("入参存在空串！"); } int sourceLength = source.length; int targetLength = target.length; //特殊情况处理 if (targetLength > sourceLength) { return -1; } int i=0; while(i < sourceLength-targetLength) { for (int j = 0; j <= targetLength; j++) { //target 匹配完成，返回结果 if (j == targetLength) { return i - j ; } if (source[i] == target[j]) { i++; } else { i = i - j + 1; break; } } } return -1; }
暴力解法 JS 实现如下：
function isSonArr(source,target){ if(typeof(source)=="undefined"||typeof(target)=="undefined"){ throw new Error("入参存在空串！"); } var sourceLength=source.length; var targetLength=target.length; if(targetLength>sourceLength){ return -1; } var i=0; while(i<sourceLength-targetLength){ for(var j=0;j<=targetLength;j++){ if(j==targetLength){ return i-j; } if(source[i]==target[j]){ i++; }else{ i=i-j+1; break; } } } return -1; }
如果只是要得到正确结果的话，暴力解法没有任何问题，但是如果对时间复杂度有一定的要求，暴力解法就有些力不从心了。
我们回看一下，比对的过程，当我们发现，i 与 j 所指向的元素不同时：
对于 i 指针的回退，我们会直接回退到 i-j+1 ,我们能不能直接略过已经比对过的元素（标红）呢：
从肉眼看便知道答案是否定的。我们不能略过 source[3] 也就是 a 。造成这种问题的原因是，source[3] 虽然不等于 target[3] ，但是 source[3] = target[0] ， source[3] 虽然不能作为子串的第四个元素，但是 source[3] 是可以做为子串的起点。
所以我们在略过已经比对过的元素时，原则便是不能略过 source 中可以作为 target 前缀的元素。
我们要做的是找到 source 中除 source[0] 外下一个可以作为 target[0] 的元素。这时我们在 source 中 i 应该回退到哪里呢？
source[0],source[1],source[2] 我们都已经做过比对，其分别等于 target 中的 0到2 ，且在 target 中我们便知道 0到2 下标的元素不可以作为头元素，那么0，1，2我们全部略过，至于 source[3] ，因为不等于target[3] ，所以我们无法从target 知道它是否可以作为 target 的头元素，保险起见我们从 source[3] 开始与 target[0] 进行下一轮的比对，将 source[1],source[2] 都略过，这样便避免了许多无效计算。
以上思路和核心是，我们从 target 中得知，已比对过的元素中哪些可以作为 target 的起始元素，这些元素不能略过，应做为起始位置与 target 进行对比。而其余不能作为起始元素的，我们直接略过避免无效的运算。
我们对原来的算法做一下优化，我们新建一个数组，用于标识 target 中哪些元素可以作为 target 的起始元素。很显然数组为：[ 1 ，0，0，0 ] 。也就是说这些元素除头元素外都不能作为 target 的起始元素。那么我们在进行比对时，每次 source[i] != target[j] ，i 不必回退到 i-j+1 ，i 只需要呆在原地与 target[0] 比较就好了，因为我们知道 source 的 0到 2 与 target 的 0到 2 均相等，而且 target 的 0 到 2 均不能作为 target 的起始元素，回退到这些元素与 target[0] 比较没有意义。
那么下面让我们来看一种更复杂的情况，也就是 target 中除头元素外，有元素可以作为起始元素的情况，来讨论如何求得我们应略过的位数：
我们略过相同的部分，直接到需要 i 发生回溯的比较位置：
我们可以看到，当 i = j =4 时，source [ 4 ] != target [ 4 ] ，此时我们需要将指针 i 进行回溯。
按照暴力解法， i 应该回溯到 1 位置。但是正如上面所说，因为两个数组中下标为 0 到 3 的元素相同，所以我们可以直接从 target 中判断， source 中下标 0 到 3 的元素可不可以作为 target 的头元素。
我们可以看到：
下标为 1 的元素不能作为头元素，所以我们在将 i 进行回退时可以直接略过：
原来我们需要将 i 回退为 i-j+1=1 的位置来与 target 进行新一轮的比较，但现在因为我们知道了，从 target 数组看，b是不能作为头元素的，我们可以直接略过。
我们新建一个数组，用于标识出 target 数组中，可以作为头元素的元素，0 表示该元素不能作为头元素，而 1 表示该元素可以作为头元素：
得到的辅助数组我们称为 prefix 数组（前缀表），当我们的 i 与 j 指向的元素不匹配时，如果 next[j] =1， 也就是当前 j 可以作为 target 的头元素，我们直接将 i 移动到 source 中指向这个 j 的元素，也就是 source 中当前 i 不变，j 置为 0 。
这样，我们可以在 j 指向可以作为头元素的元素时，若需要回退 i ，减少 i 的回退次数。
但还有一种情况是，如果在 j 为 3 时发生了不匹配：
通过上面的数组我们发现 target[3] 不能作为 target 的头元素，所以 i 依然要回退到最初的位置进行比较。
但实际上，因为其前驱元素可以作为 target 的头元素，所以 i 只需要向前移动一位即可。
为了表示这种关系，我们将 next[4] 中的置为 2，表示在其前驱元素可以作为 target 数组的头元素的前提下，其可以作为 target 数组的第二个元素（可以作为第 n 个元素的情况同样）。这样，i 在回溯时只需要回溯一个位置，回溯到离其最近的头元素即可。
这样，我们在 i 与 j 不匹配时，通过查 next 表，便可以知道 i 需要向前回溯几个位置，也就是 i 需要向前回溯 next[j]-1 个位置（next[j] 非零的情况下）。
我们再来考虑一种情况，当 j 指向 target[5] 也就是 c 时，如果发生不匹配是否需要将 i 回退到与 target[3] 对应的 source 的元素呢。答案是没有必要的，因为虽然 target[2]=a 可以作为 target[0]，target[3]=b 可以作为 target[1] ，但是 target[4]=b 不能作为 target[2] ,所以即使从 target[2] 作为头开始匹配，也会在 target[4] 处匹配失败。
以上过程说明，我们在 i 跳跃时，不只是跳跃到离当前 i 最近的头元素，还要跳到离当前 i 最近的有效的头元素。
而最近的头元素是否有效，需要看当前 i 的前驱元素是否是有效的。
所以我们的比对过程便成了：
如果 source[i] == target[j] ，则 i++，j++
如果 source[i] != target[j] ,我们需要查询 next[j-1] 是否为0，如果为 0 ，则 i 不变，j变为0 继续比对。否则 i 回退 next[j-1] 位回退到最近的有效头元素，j 变为 0 继续比对。
当元素发生失配时，source中发生失配的元素与target中对应的元素不同，我们不能通过 target 的 next 数组判断 source 中的该元素是否可以作为 target 中的第 n 号元素，所以我们通过其前驱元素（因为前驱元素 source 中与 target 中相同）判断距离最近的可作为头元素的节点是否有效，从而决定是否跳转。整个逻辑比较复杂，思路清奇，总之我是裂开了。
下面上代码，已经过 leetcode 验证正确性：
/** * @Author Nxy * @Date 2020/2/17 19:18 * @Param * @Return * @Exception * @Description kmp 算法判断 target 是否为 source 的子串 */ public static int kmp(char[] source, char[] target) { int[] prefixArr = kmpNext(target); int sourceLength = source.length; int targetLength = target.length; if (targetLength == 0) { return 0; } int i = 0; for (int j = 0; j <= targetLength; j++) { if (j == targetLength) { return i - j; } if (i == sourceLength) { return -1; } if (source[i] == target[j]) { i++; } else { if (j == 0) { i++; j = -1; } else { int pre = prefixArr[j - 1]; // i = i - pre; // j = -1; j = pre - 1; } } } return -1; } /** * @Author Nxy * @Date 2020/2/17 21:15 * @Param * @Return * @Exception * @Description 计算 target 的 next 数组 */ public static int[] kmpNext(char[] target) { if (target == null) { return null; } int[] next = new int[target.length]; next[0] = 0; for (int i = 1, j = 0; i < target.length; i++) { while (j > 0 && target[j] != target[i]) { j = next[j - 1]; } if (target[i] == target[j]) { j++; } next[i] = j; } return next; }