预测房价的回归问题

回归问题是通过一系列的已知数据预测未来的值，这个待预测的值是一个连续值。我们使用20世纪70年代中期波士顿郊区房价的数据来进行回归问题的讨论。

数据准备

同样的，我们可以使用Keras的内嵌函数加载这批数据，如果网络不支持自动下载，你可以选择事先下载好的数据。

from keras.datasets import boston_housing

(train_data, train_targets), (test_data, test_targets) = 
boston_housing.load_data(path='/ABS_PATH/boston_housing.npz')
print(train_data.shape, test_data.shape)
print(train_data[0], train_targets[0])

(404, 13) (102, 13)

[ 1.23247 0. 8.14 0. 0.538 6.142 91.7 3.9769 4. 307. 21. 396.9 18.72 ] 15.2

可以看出这组数据有404个训练样本和102个测试样本，每个样本都有13个数值特征，预测的目标是波士顿郊区房屋价格的中位数（单位是千美金）。这些数值特征由于各自的单位不同，取值范围与大小参差不齐，如果直接将这组数据输入到神经网络，势必增加模型学习的困难。所以，我们需要对每个特征进行标准化操作，即对输入数据的每个特征，减去特征的平均值，再除以标准差。

mean = train_data.mean(axis=0)
train_data -= mean
std = train_data.std(axis=0)
train_data /= std

test_data -= mean
test_data /= std
print(train_data[0])

[-0.27224633 -0.48361547 -0.43576161 -0.25683275 -0.1652266 -0.1764426 0.81306188 0.1166983 -0.62624905 -0.59517003 1.14850044 0.44807713 0.8252202 ]

构建网络

我们已经有了电影评论极性分析的实践经验，可以很轻松地堆叠出一个网络模型出来，在这里我们把网络的构建功能封装成了一个函数，为了后面多次使用它。

from keras import models
from keras import layers

def build_model():
    model = models.Sequential()
    model.add(layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(train_data.shape[1],)))
    model.add(layers.Dense(64, activation='relu'))
    model.add(layers.Dense(1))
    model.compile(optimizer='rmsprop', loss='mse', metrics=['mae'])
    return model

这个网络模型包含两个中间层，每层都是64个隐藏单元的全连接层，对于第一层需要指定输入数据的维度，我们选择ReLU作为激活函数（你会发现这种带有ReLU激活的Dense层的堆叠，是非常有用的结构，可以解决很多种问题）。这里值得我们注意的是网络的最后一层只有一个单元，没有激活，它是一个线性层，这种设置是标量回归的典型配置。对于回归问题，损失函数通常选择均方误差（MES, mean squared error）;训练过程需要监控平均绝对误差（MAE, mean absolute error）。

验证方法

在分析数据时我们已经看到，这批数据的样本量是很少的（只有几百个），如果我们仍然把训练集拆分为训练和验证集，势必导致训练数据不足，同时验证数据太少引发验证得分的波动。所以，在数据样本量较少的情况下，我们建议使用K折交叉验证，这种方法首先将数据集划分为K个分区，实例化K个相同的模型，将每个模型在K-1个分区上训练，并在剩下的一个分区上进行评估，把K次评估得分的平均值作为模型的验证分数。

import numpy as np

k = 4
num_val_samples = len(train_data) // k
num_epochs = 500
all_mae_history = []

for i in range(k):
    print('processing fold #', i)
    #其中一份作为验证数据
    val_data = train_data[i*num_val_samples: (i+1)*num_val_samples]
    val_targets = train_targets[i*num_val_samples: (i+1)*num_val_samples]
    
    #剩余各份作为训练数据
    partial_train_data = np.concatenate([train_data[:i*num_val_samples], 
                                        train_data[(i+1)*num_val_samples:]], axis=0)
    partial_train_targets = np.concatenate([train_targets[:i*num_val_samples], 
                                           train_targets[(i+1)*num_val_samples:]], axis=0)
    
    model = build_model()
    history = model.fit(partial_train_data, partial_train_targets, 
                        validation_data=(val_data, val_targets),
                        epochs=num_epochs, batch_size=1, verbose=0)
    
    #从hisotry中提取验证结果
    mae_history = history.history['val_mean_absolute_error']
    all_mae_history.append(mae_history)

当然，除了从history中提取验证结果，也可以手动获取验证得分，此时则不需要在fit函数里指定验证集。

#在验证数据上评估模型
model.fit(partial_train_data, partial_train_targets, 
          epochs=num_epochs, batch_size=1, verbose=0)
val_mse, val_mae = model.evaluate(val_data, val_targets, verbose=0) 

我们计算出每个轮次中所有折MAE的平均值，并使用Matplotlib绘制出指标的变化曲线。

average_mae_history = [np.mean([x[i] for x in all_mae_history]) for i in range(num_epochs)]

import matplotlib.pyplot as plt

plt.plot(range(1, len(average_mae_history) + 1), average_mae_history)
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Validation MAE')
plt.show()

很遗憾，由于数据的方差都相对较大，图片并没有直观地反映出指标的变化趋势。我们需要采取一点小技巧重新绘制：

• 删除前10个数据点，因为它们的取值范围与曲线上的其他点不同
• 将每个数据点替换为前面数据点的指数移动平均值，以得到光滑的曲线

def smooth_curve(points, factor=0.9):
    smoothed_points = []
    for point in points:
        if smoothed_points:
            previous = smoothed_points[-1]
            smoothed_points.append(previous*factor+point*(1-factor))
        else:
            smoothed_points.append(point)
    return smoothed_points

smooth_mae_history = smooth_curve(average_mae_history[10:]) #剔除前10个点
plt.plot(range(1, len(smooth_mae_history)+1), smooth_mae_history)
plt.xlabel('Epochs')
plt.ylabel('Validation MAE')
plt.show()

此时的曲线可以很直观地看出，验证MAE在60轮左右就不再显著降低了，此后甚至出现了过拟合。我们用最好的参数（这里只演示了调整轮数）训练最终的生产模型，并观察它在测试集上的性能。

model = build_model()
model.fit(train_data, train_targets, epochs=80, batch_size=16, verbose=0)
test_mse_score, test_mae_score = model.evaluate(test_data, test_targets)
print(test_mae_score)

2.7114876391840914

看来，我们预测的房价还是和实际价格相差了约2700美元。

总结

即便本节我们讨论的是回归问题，但是与前一节的电影评论极性分类问题的建模方法论是一样的，针对回归问题，我们可以总结如下：

• 回归问题使用的损失函数通常是均方误差（MSE），评价指标为平均绝对误差（MAE）
• 如果输入的数据的特征具有不同的取值范围，应该先进性预处理，对每个特征单独进行缩放（通常减均值除方差是一种不错的缩放手段）
• 如果数据的验证表现受数据的分布影响，没有明显的趋势可见，可以采取一定的平滑处理以便直观地分析趋势
• 如果可用数据较少，K折交叉验证是首选的验证方法（同样适用于分类问题）