【UVa10891】Game of Sum

题目描述

有n个数字排成一条直线，然后有两个小伙伴来玩游戏， 每个小伙伴每次可以从两端（左或右）中的任意一端取走一个或若干个数（获得价值为取走数之和）， 但是他取走的方式一定要让他在游戏结束时价值尽量的高，最头疼的是两个小伙伴都很聪明，所以每一轮两人都将按照对自己最有利的方法去取数字，请你算一下在游戏结束时，先取数的人价值与后取数人价值之差（不要求绝对值）。

输入

多组数据。每一组数据第一行一个正整数n ( 1≤n≤100 )，第二行为给定的整数序列。输入结束标志n=0。

输出

最优结果。

样例输入

4

4 -10 -20 7

4

1 2 3 4

0

样例输出

7

10

---

题解

区间dp。设dp[ i ][ j ]表示在序列 a[ i ] ~a[ j ] 中先取可以获得的最大值。由于序列的总和不变，所以两人的总和等于序列的总和。那么我们就要时 sum[ i ][ j ] - dp[ i ][ j ] 尽量小。

考虑转移：因为只能从左边或者右边取，dp[ i ][ j ] =sum[ i ][ j ] - min ( dp[ i+1][ j ] , dp[ i+2 ][ j ] ........ , dp[ j ][ j ] , dp[ i ][ j-1 ], dp[ i ][ j-2 ] ...... ,dp[ i ][ i ] , 0) 。

答案 = dp[ 1 ][ n ] - ( sum[ 1 ][ n ] - dp[ 1 ][ n ]  ) = 2 * dp[ 1 ][ n ] -sum [ 1 ][ n ] 。

时间复杂度：O(n³)

一点点小优化：

设 f [ i ][ j ] = min ( dp[ i ][ j ] , dp[ i +1 ][ j ] , dp[ i +2 ][ j ] ,........,dp[ j ][ j ] ) ， g[ i ][ j ] = min ( dp[ i ][ j ] , dp[ i ][ j-1 ], dp[ i ][ j-2 ] , .......,dp[ i ][ i ] )。

那么 dp[ i ][ j ] = sum[ i ][ j ] -min( f[ i+1 ][ j ],g[ i ][ j-1 ], 0 ),   f [ i ][ j ] = min ( dp[ i ][ j ] , f[ i+1 ][ j ] )  , g[ i ][ j ] = min ( dp[ i ][ j ] ,g[ i ][ j-1 ] ) 

时间复杂度：O(n²)

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

const int maxn=100+5;

int dp[maxn][maxn],a[maxn],sum[maxn],n;
int f[maxn][maxn],g[maxn][maxn];

template<typename T>void read(T& aa){
    char cc; ll ff;aa=0;cc=getchar();ff=1;
    while((cc<'0'||cc>'9')&&cc!='-') cc=getchar();
    if(cc=='-') ff=-1,cc=getchar();
    while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
    aa*=ff;
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            read(a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=g[i][i]=dp[i][i]=a[i];
        for(int len=2;len<=n;len++)
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
            int j=i+len-1;
            int m=0;
            m=min(m,f[i+1][j]);
            m=min(m,g[i][j-1]);
            dp[i][j]=sum[j]-sum[i-1]-m;
            f[i][j]=min(dp[i][j],f[i+1][j]);
            g[i][j]=min(dp[i][j],g[i][j-1]);
        }
        cout<<2*dp[1][n]-sum[n]<<endl;
    }
    return 0;
}