【费用流】BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募（这题超好）

1061: [Noi2008]志愿者招募

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Description

　　申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

Sample Output

14

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均 不超过2^31-1。

题解

这题dalao们要不就是用线性规划来把不定方程转化为一般方程建边跑费用流

但是有dalao提出了这样一种建边方法（我们用二元组（cap，val）表示边的流量和花费）：

• 对于每一天向后一天连边(inf−ai,0)
• 对于每一种志愿者选择，从L到R+1建边（inf，cost[i]）
• 从超级源向第一天连边(inf,0)
• 从最后一天+1向超级汇连边(inf,0)

但是为什么这样是对的呢？

原谅本蒟蒻看了许多dalao们的解释都看不懂。。。

于是我就自己YY了一下：

• 假设有一种免费志愿者，他的工作区间为（1，n）
• 我们每天都需要inf个志愿者，其中有至少a[i]个非免费志愿者，也就是最多有inf-a[i]个免费志愿者
• 所以我们对于每一天向它的下一天连边（inf-a[i]，0）意味着这一天工作完下一天继续工作的免费志愿者最多为inf-a[i]个（因为中间不能临时增加免费志愿者）
• 然后对于每个非免费志愿者i的工作区间（l,r），我们从l向r+1连一条边（inf,c[i]）表示我们这几天可以花费每人c[i]的代价让免费志愿者直接去往第r+1天，而剩下的部分由非免费志愿者补齐
• 建立超级源点向第一天连（inf，0）表示第一天可以有inf个免费志愿者
• 从第n+1天向超级汇点连（inf，0）表示最后每天都要有inf个志愿者
• 这样就可以把有下限无上限的问题转化成有上限无下限的问题

跑费用流

代码

//by 减维
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define db double
#define inf 2147483647//1<<29
#define maxn 20005
#define eps 1e-8
using namespace std;

inline int read()
{
    int ret=0;bool fla=0;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-'){fla=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return fla?-ret:ret;
}

struct edge{
    int to,ne,cap,val;
}e[maxn<<6];

int n,m,s,t,ecnt=1,a[maxn],head[maxn],dis[maxn];
bool pd[maxn],vis[maxn];

void add(int x,int y,int z,int k)
{
    ecnt++;e[ecnt]=(edge){y,head[x],z,k};head[x]=ecnt;
    ecnt++;e[ecnt]=(edge){x,head[y],0,-k};head[y]=ecnt;
}

bool bfs()
{
    deque<int>q;q.push_back(t);
    for(int i=s;i<=t;++i)dis[i]=inf;dis[t]=0;
    memset(pd,0,sizeof pd);pd[t]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int d=q.front();q.pop_front();
        pd[d]=0;
        for(int i=head[d];i;i=e[i].ne)
        {
            int dd=e[i].to;
            if(e[i^1].cap&&dis[dd]>dis[d]-e[i].val)
            {
                dis[dd]=dis[d]-e[i].val;
                if(!pd[dd]){
                    pd[dd]=1;
                    if(q.empty()||dis[dd]>dis[q.front()]) q.push_back(dd);
                    else q.push_front(dd);
                }
            }
        }
    }
    return dis[s]<inf;
}

int dfs(int x,int cap)
{
    vis[x]=1;
    if(x==t||!cap)return cap;
    int tmp,ret=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
    {
        int dd=e[i].to;
        if(!vis[dd]&&e[i].cap&&dis[dd]==dis[x]-e[i].val)
        {
            tmp=dfs(dd,min(e[i].cap,cap));
            cap-=tmp;ret+=tmp;
            e[i].cap-=tmp;e[i^1].cap+=tmp;
        }
    }
    return ret;
}

int zkw()
{
    int ret=0;
    while(bfs())
    {
        vis[t]=1;
        while(vis[t]){
            memset(vis,0,sizeof vis);
            ret+=dfs(s,inf)*dis[s];
        }
    }
    return ret;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    s=0,t=n+2;
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=read(),add(i,i+1,inf-a[i],0);
    for(int i=1,x,l,r;i<=m;++i) l=read(),r=read(),x=read(),add(l,r+1,inf,x);
    add(s,1,inf,0);add(n+1,t,inf,0);
    printf("%d",zkw());
    return 0;
}