【数学】【NOIp2012】同余方程 题解 以及 关于扩展欧几里得与同余方程

什么是GCD？

GCD是最大公约数的简称（当然理解为我们伟大的党也未尝不可）。在开头，我们先下几个定义：
①a|b表示a能整除b（a是b的约数）
②a mod b表示a-[a/b]b（[a/b]在Pascal中相当于a div b）
③gcd(a,b)表示a和b的最大公约数
④a和b的线性组合表示ax+by（x,y为整数）。我们有：若d|a且d|b，则d|ax+by（这很重要！）

线性组合与GCD
现在我们证明一个重要的定理：gcd(a,b)是a和b的最小的正线性组合。
证明：
设gcd(a,b)为d，a和b的最小的正线性组合为s
∵d|a且d|b，
∴d|s。
而a mod s=a-[a/s]s
         =a-[a/s](ax+by)
         =a(1-[a/s]x)-b[a/s]y
亦为a和b的线性组合
∵a mod s<s，a mod s不能是a和b的最小的正线性组合
∴a mod s=0，即s|a
同理由s|b
∴s为a,b的公约数
∴s<=d
∵d|s
∴d=s。证毕。

由这条定理易推知：若d|a且d|b，则d|gcd(a,b)

扩展欧几里得是对于一对整数a,b总可以找到一组解x,y使ax+by=gcd(a,b)

例如a=6,b=15时,gcd(a,b)=3;一组可行的解是x=3,y=-1,当然还有其他解如x=-2,y=1.

给出实现程序

int exGcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)//d表示gcd(a,b)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else {exGcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

我们说过，gcd(a,b)可以表示为a和b的最小的正线性组合。现在我们就要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y。

从最简单的情况开始。当b=0时，我们取x=1,y=0。当b≠0时呢？
假设gcd(a,b)=d，则gcd(b,a mod b)=d。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx'+(a mod b)y'，则
gcd(a,b)=d
        =bx'+(a mod b)y'
        =bx'+(a-[a/b]b)y'

        =ay'+b(x'-[a/b]y')=d=ax+by

那么，x=y'，y=x'-[a/b]y'。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和y。

所以在上述代码的第4行中：

　　　　x=y';(即x与y交换)

　　　　(交换前)y=x'-(a/b)*y';

　　　　(交换后)y=y'-(a/b)*x';

　　所以递归时

　　　　exGcd(b,a%b,d,y,x);交换了x,y
　　　　y-=x*(a/b);//更新了y

---

求出了一组解肯定远远不够,如何求出其他解呢?一个公式就可以解决,对于方程的一个解(x₀,y₀)它的任意整数解可以表示为

　　(x₀ + k*(b/d),y₀ - k*(a/d))

推导过程为:
　　设(x1,y1)为方程的一组已知解,(x2,y2)为一组未知解,代入方程后得:

　　a*x1+b*y1=d;

　　a*x2+b*y2=d;

　　a*x1+b*y1=a*x2+b*y2

　　移项得:

　　a*(x1-x2)=b*(y1-y2)

　　两边同时除以d(令a'=a/d,b'=b/d)

　　a'*(x1-x2)=b'*(y1-y2)

　　a' 与 b' 一定互质

　　(x1-x2)一定可以被b整除

　　设x1-x2=k*b'

　　a'*k*b'=b'*(y1-y2)

　　k*a'=y1-y2

　　所以x2=x1-k*b'

　　　　y2=y1+k*a'

---

同余方程:aΞb(mod n)表示(a mod n)==(b mod n)即a-b可以被n整除(注意是整除);

所以可以设ax-b为n的正整数倍,所以又可以设ax-b为n的y倍;

得到ax-b==ny变形得ax-ny==b;

这下就可以用扩展欧几里得解决了!

相关的例题在Vijos P1781 同余方程,2012年提高组的题,如果知道了这个方程,那AC简直妥妥的!下面是AC代码

/*
ID: ringxu97
LANG: C++
TASK: NOIp2012-同余方程 
SOLUTION: 扩展欧几里得 同余方程的解法 
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int g,x,y;
    exgcd(a,b,g,x,y);
    int ans=x;
    while(ans<0)ans+=b/g;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}