luoguP4279 [SHOI2008]小约翰的游戏 Anti-SG 博弈论

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这就是一个Anti SG问题

当整个游戏的(sg = 0)时，如果不存在单一游戏局面(sg > 1)，那么先手必胜

当整个游戏的(sg eq 0)时，如果至少存在一个单一游戏局面(sg > 1)，那么先手必胜

简略的证一下QAQ

首先证(N)至少有一个后继是(P)

• 整个游戏的(sg = 0)，不存在单一游戏局面(sg > 1)

一定有偶数个(1)，显然先手必胜

• 整个游戏的(sg eq 0)，至少存在一个单一游戏局面(sg > 1)

类似(Nim)游戏，先手一定可以选出一堆石头使得(sg = 0)

然后是(P)的后继全部都是(N)

• 整个游戏的(sg eq 0)，不存在单一游戏局面(sg > 1)

一定有奇数个(1)，显然先手必败

• 整个游戏的(sg = 0)，至少存在一个单一游戏局面(sg > 1)

由于(sg = 0)，因此一定存在两个以上的单一游戏局面(sg > 1)

此时，不论先手怎么取，后继状态的(sg)不可能等于(0)，并且至少存在一个单一游戏局面(sg > 1)

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define ri register int
#define rep(io, st, ed) for(ri io = st; io <= ed; io ++)
#define drep(io, ed, st) for(ri io = ed; io >= st; io --)

#define gc getchar
inline int read() {
	int p = 0, w = 1; char c = gc();
	while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') w = -1; c = gc(); }
	while(c >= '0' && c <= '9') p = p * 10 + c - '0', c = gc();
	return p * w;
}

int a[50050];

int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		int n = read();
		rep(i, 1, n) a[i] = read();
		int flag = 0, sg = 0, win;
		rep(i, 1, n) flag += (a[i] > 1), sg ^= a[i];
		if(!flag && sg == 0) win = 1;
		else if(flag && sg != 0) win = 1;
		else win = 0;
		if(win == 1) printf("John
");
		else printf("Brother
");
	}
	return 0;
}