第2章 算法

首先介绍了数据结构与算法的关系：

• 简单来说，算法将数据结构与计算机联系了起来。

接着运用一个高斯求和的例子引出了算法的定义：

• 算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

继而阐述了算法的五个基本特性：

• 输入输出：算法具有0个或多个输入，算法至少一个或多个输出。

• 有穷性：算法在执行有限的步骤后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

• 确定性：算法的每一个步骤都具有确定的含义，不会出现二意性。

• 可行性：算法的每一步都必须是可行的，即每一步都能通过执行有限次数完成。

紧接着又提出了算法设计的要求：

• 正确性

• 可读性

• 健壮性

• 时间效率高和存储量低

然后描述了两种算法效率的度量方法：

• 事后统计法：通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制程序的运行时间进行对比，从而确定算法效率的高低。

• 事前分析估算法：在计算机程序编制前，依据统计方案对算法进行估算。

但由于事后统计法存在种种缺陷，不予采纳，因此这里以事前分析估算法进行重点描述，在分析时，我们考虑一下因素：

• 算法采用的策略、方法：这是算法好坏的根本

• 编译产生的代码质量：由软件来支持

• 问题的输入规模：即输入量的多少

• 机器执行指令的速度：由硬件来决定

之后根据算法需要执行的操作次数提出了函数的渐近增长：

• 定义：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个正整数N，使得所有n>N,f(n)>g(n)那么我们说f(n)的渐近增长快于g(n)。

• 简单来说，某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一个算法，或者越来越差于另一个算法。

然后描述了算法时间复杂度：

• 定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。这种用O()来体现时间复杂度的记法，我们称为大O记法。

之后便有了推倒大O阶的方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数

2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

3. 如果最高项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

4. 得到的结果就是大O阶

接着又介绍了几种常用的大O阶：

• 常数阶：O(1)

• 线性阶：O(n)

• 对数阶：O(logn)

• 平方阶：O(n²)

常见的时间复杂度所消耗的时间大小关系依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

然后又描述了最坏情况与平均情况：

• 一般没有特殊说明的情况，都是指最坏情况。

最后提出了描述了算法的空间复杂度：

• 可以使用空间来换取时间，“复杂度”通常指“时间复杂度”，我们的重点也是“时间复杂度”