XJOI1105模拟赛 积木游戏

orz duck！

Description

在一个 (n) 行 (m) 列的矩阵里放积木。要求：一块积木只能放在一行，一行中相邻的积木中间至少有一个间隔，第一行至少有一块积木，第 (n) 行积木长度为 (m)。求所有满足条件的方案的积木数平方和。

Solution

注意到原题范围 (n,mleq 5 imes 10^3) 太小了，考虑加强 ( ightarrow~n,mleq 10^{18})。

首先把这个第一行至少有一块积木的限制去掉，记 (f_n) 表示最高积木高度小于等于 (n) 的积木数平方和，则答案即为 (f_n - f_{n-1})。

对于一个积木的高度序列 ({a_m})，很容易求出它有多少块积木，即 (summax{a_i-a_{i-1},0})。注意到显然去掉这个约束以后，对于每种积木的高度序列是等概率出现的，考虑把数数转化为概率，最后乘上一个总方案数即可，具体地：

[f_n = n^moperatorname Eleft(left(summax{a_i-a_{i-1},0} ight)^2 ight) ]

把那个 (max) 拆开，得到：

[f_n = n^moperatorname Eleft(sum_isum_jmax{a_i-a_{i-1},0}max{a_j-a_{j-1},0} ight) ]

然后分类讨论 (i,j) 的情况，分 (i=j)，(|i-j|=1)，(|i-j|>1) 讨论，其中 (i=1) 或 (j=1) 还要进一步讨论。

注意到每种情况都是一个关于 (n) 的低次多项式，可以使用拉格朗日插值减少计算。

Code

（整数类模板省略）

const int MOD = 998244353;

inline Z suan1(Z N) { return N * 166374059 + N * N * 499122177 + (N ^ 3) * 332748118; }
inline Z suan2(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206; }
inline Z suan3(Z N) { return N * 415935147 + N * N * 707089750 + (N ^ 3) * 582309206 + (N ^ 4) * 291154603; }
inline Z suan4(Z N) { return N * N * 415935147 + (N ^ 3) * 415935147 + (N ^ 4) * 582309206 + (N ^ 5) * 582309206; }
inline Z suan5(Z N) { return N * 432572553 + (N ^ 3) * 707089750 + (N ^ 5) * 856826403; }
inline Z suan6(Z N) { return N * N * 859599304 + (N ^ 4) * 277290098 + (N ^ 6) * 859599304; }

int n, m;

inline Z calc(int n, int m) {
	if (!n) return Z(0);
	if (n == 1) return Z(1);
	Z N(n), M(m), ans = suan1(N) / N;
	if (m > 1) ans += (M - 1) * suan2(N) / (N * N);
	if (m > 1) ans += 2 * suan3(N) / (N * N);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan4(N) / (N ^ 3);
	if (m > 2) ans += 2 * (M - 2) * suan5(N) / (N ^ 3);
	if (m > 3) ans += (M - 2) * (M - 3) * suan6(N) / (N ^ 4);
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &m, &n);
	Z ans = calc(n, m) * (Z(n) ^ m) - calc(n - 1, m) * (Z(n - 1) ^ m);
	printf("%d
", ans.x);
	return 0;
}

事实上如果真的要做 (n,mleq 10^{18}) 这份代码还要作亿点改动（因为大于模数了）但是由于懒就不想管了