好消息：信友队 (2019) 年【因版权原因该比赛名称已删除】获 (58) 个一等奖，在 (2020) 年【因版权原因该比赛名称已删除】第二轮竞赛来临之际，准备向全国免费开放赛前冲刺内部模拟训练题。开放的第一套题目是由信友队高一和高二连续进国家集训队的
机房皇帝( exttt{z}color{red}{ exttt{houzhendong}}) 同学精心设计的原创题，难度为前三年的平均值。全真模拟训练时间安排 （缺少介词） 正式竞赛的时间段：(2020) 年 (11) 月 (4) 日下午 (14:30-18：30)，有利于选手调 正 好竞赛的生物钟。
T1
Description
求小于 (m) 的所有可以表示为 (d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2) 的 (n)，其中 (d_1,d_2,d_3,d_4) 表示 (n) 的四个最小因子。
Solution
显然 (n) 为偶数，一波分类讨论得出 (n) 只能等于 (130)。
T2
Description
在 (L^K) 的超立方体中构造一条贯穿每一个点的路径，每次只能往一个方向走一格。
Solution
一层一层往上爬。
T3
Description
给你一个 (n) 个点 (2n-2) 条边的由两棵树拼成的图，要求把 (n) 个点分成两个点集 (V1,V2)，使得 (V1,V2) 的导出子图均为森林。
Solution
首先，度数小于等于 (3) 的点一定是可以删掉的，最后把它赋为周围点中出现颜色较少的点一定合法。根据题目的性质，这个过程一定可以一直进行下去，然后就做完了。
T4
Description
给你一个 (n imes m) 的矩形，每次操作把一行/一列染黑/白，问最终能得到多少种不同的矩形。
Solution
考虑什么样的矩形是可以染成的。容易发现如果存在四个点 ((x_1,y_1)(x_1,y_2)(x_2,y_1)(x_2,y_2)) 使得 ((x_1,y_1)(x_2,y_2)) 同色，((x_1,y_2)(x_2,y_1)) 同色，((x_1,y_2)(x_2,y_1)) 异色，那么这个矩形一定是不可以染成的，反之一定可以。
对于可以的矩形，我们一定可以通过若干次交换行列操作，使得所有同色的形成一个阶梯的形状。枚举阶梯的横线和竖线条数，横线的每一条在原矩形中对应一些列，容易发现这就是第二类斯特林数，并且它们之间是有序的，故要乘上一个阶乘；对于竖线类似分析。
注意到横线条数和竖线条数的差 (<1)，故枚举量只有 (operatorname O(n))，(operatorname O(n^2)) 求第二类斯特林数可以获得 (90) 分的好成绩，用 (operatorname{FFT}) 求一行斯特林数可以做到 (operatorname O(nlog n))。
有些神仙哪，看了 n = 2 和 n = 3 就知道是斯特林数乘组合数了，orz