颓废的时候不知道为什么点着点着就进这道题里了
发现这个 manipulate 很像 Q# 里面的 H 门，然后发现做不下去了
发现这个 manipulate 很像 (operatorname{FWT})，于是类似 (operatorname{FWT}) 地对每一位做一遍，手玩一下可以发现：
[a_S = left(frac 1{sqrt 2}
ight)^{n+1}left((-1)^{|xcap S|}+(-1)^{|ycap S|}
ight)
]
其实就是 (operatorname{FWT}) 的定义
注意到 ((-1)^{|xcap S|}+(-1)^{|ycap S|}) 不为 (0) 当且仅当 (|xcap S|+|ycap S|equiv 0(mod 2))，同时也等价于 (|(xigoplus y)cap S|equiv 0(mod 2))。
由于这个 (xigoplus y) 始终不变且 ( eq 0)，并且 (x,y) 是随机的，所以每次通过 (O(n)) 步操作可以期望去掉一半的值。
毛估估 (400) 次限制是可以跑过的。