bzoj 3669: [Noi2014] 魔法森林 LCT版

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17
【输入样例2】
3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】
32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

【输出样例2】
-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

Source

题目即要求使1和n连通的使a的最大值+b的最大值最小。。。

对于这种一条边有两种权限制的题目，一般都是限制住一种边的条件再对另一条边进行处理。。。

这题的暴力做法还是可以YY的。。。

首先最大边最小是显然满足最小生成树的性质的。。。

所以按a的大小加入满足a的边，再以这些边跑按照b跑Kruskal。。。竟然有70分。。。

然后我傻逼的YY了一个二分a的高骗，竟然骗了80分（这个答案显然是没有单调性的，应该会WA飞，然而有80分，时间贼快）

正解可以用SPFA动态加边也可以用LCT。。。。。

如果要用LCT的话就要知道一个叫做另类MST的鬼东西。。。网管的水管局长PPT上有。。。

大致做法就是先随意构一棵生成树，不断加边，如果形成了环，就把环上边权最大的删掉。。。

这样的话我们就可以按a的大小加入满足a的边然后动态维护加了边之后的b的最小生成树。。。这样的好处就是每次无需重新构MST。。。

那么对于这个操作LCT显然是可以胜任的。。。

这题还要用到一个很巧妙的东西，就是把边作为一个点加进去。。因为LCT并不能维护边权。。。

对与边i就是类似这样：lnk(i+n,e[i].x),lnk(i+n,e[i].y);

下面附上代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1000500;
int gi()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
int fa[N],c[N][2],st[N],v[N],maxn[N],n,m,ans=1000000007;
bool rev[N];
struct data
{
    int u,v,a,b;
} edge[N];
bool isroot(int x)
{
     return c[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;
}
void modify(int x)
{
    int l=c[x][0],r=c[x][1];
    maxn[x]=x;
    if(v[maxn[x]]<v[maxn[l]]) maxn[x]=maxn[l];
    if(v[maxn[x]]<v[maxn[r]]) maxn[x]=maxn[r];
}
void pushdown(int x)
{
  int l=c[x][0],r=c[x][1];
  if(rev[x])
    {
      rev[x]^=1;rev[l]^=1;rev[r]^=1;
      swap(c[x][0],c[x][1]);
    }
}
void rotate(int x)
{
    int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
    if(c[y][0]==x)l=0;else l=1;r=l^1;
    if(!isroot(y))
    {
        if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;else c[z][1]=x;
    }
    fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;
    c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;
    modify(y);modify(x);
}
void splay(int x)
{
  int top=0;st[++top]=x;
  for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
    {
      st[++top]=fa[i];
    }
  for(int i=top;i;i--) pushdown(st[i]);
  while(!isroot(x))
    {
      int y=fa[x],z=fa[y];
      if(!isroot(y))
    {
      if((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)) rotate(x);
      else rotate(y);
    }
      rotate(x);
    }
}
void access(int x)
{
    int t=0;
    while(x)
    {
        splay(x);
        c[x][1]=t;
        t=x;x=fa[x];
    }
}
void rever(int x)
{
    access(x);splay(x);rev[x]^=1;
}
void lnk(int x,int y)
{
  rever(x);fa[x]=y;splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
  rever(x);access(y);splay(y);c[y][0]=fa[x]=0;
}
int query(int x,int y)
{
    rever(x);access(y);splay(y);
    return maxn[c[y][0]];
}
int find(int x)
{
    access(x);splay(x);
    int y=x;
    while(c[y][0]) y=c[y][0];
    return y;
}
bool cmp(data a,data b)
{
    return a.a<b.a;
}
int main()
{
    n=gi();m=gi();
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        edge[i].u=gi();edge[i].v=gi();edge[i].a=gi();edge[i].b=gi();
    }
    for(int i=1;i<=m+n;i++) maxn[i]=i;
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int x=edge[i].u,y=edge[i].v;
        if(find(x)!=find(y))
        {
            v[n+i]=edge[i].b;
            lnk(x,n+i);lnk(y,n+i);
        }
        else
        {
            int maxm=query(x,y);
            if(edge[i].b<v[maxm])
            {
                cut(maxm,edge[maxm-n].u);
                cut(maxm,edge[maxm-n].v);
                v[n+i]=edge[i].b;
                lnk(x,n+i);lnk(y,n+i);
            }
        }
        if(find(1)==find(n)) ans=min(ans,edge[i].a+v[query(1,n)]);
    }
    if(ans==1000000007) cout<<-1<<endl;
    else cout<<ans;
}