LIS——续

LIS_续

LIS的二分做法

首先来看看一个序列 1 3 5 4 6 8 2

按照之前的滑动窗口的处理思路，你在一个元素入队之前判断他和队顶元素的大小譬如队列是1 3 现在你来一个2，你会发现把2替换3，这样的排列1 2可以给后面的元素提供更大的入度

你单独只放1 3后面假如再来个3就无法入队了，但是1 2的话3就可以进去，这样的话此时的LIS就是最优的，每次我们都从已入队元素中找到第一个大于等于他的元素，然后用当前元素替换他。如果他比队尾元素还大就直接放入队尾

但是要注意 1 3 5 4 6 8 2，假设B数组是储存LIS最小优的数组，len就是LIS

遇到1， B={1} len=1

遇到3， B={1,3} len=2

遇到5， B={1,3,5} len=3

遇到4， B={1,3,4} len=3

遇到6， B={1,3,4,6} len=4

遇到8， B={1,3,4,6,8} len=5

遇到2， B={1,2,4,6,8} len=5可以发现此时的B不是真正的LIS序列，他只是保证单项入度最优，并不影响LIS

luoguP1020

第一问，导弹高度不大于之前的导弹高度，所以就是一个非上升连续子序列，也就是a[i]>=a[j] (i>j)

第二问，一套导弹只能拦截他之后高度比它小的，也就意味着后面比他高的就无法拦截，仔细想想就是求LIS

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
#define  ll long long
int  a[maxn];
int  dp_1[maxn];///LIS
int  dp_2[maxn];///最长非上升子序列
int n=0;
int main()
{
    int x;
    while(scanf("%d",&x)!=EOF)
    {
        a[++n]=x;
    }
    int ans_1=0;
    int ans_2=0;
    memset(dp_1,0,sizeof (dp_1));
    memset(dp_2,0,sizeof (dp_2));
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        dp_1[i]=1;
        for (int j=1;j<i;++j)///找寻之前的是否可以合并
        {
            if (a[i]>a[j])
            {
                ans_1 = max(ans_1,dp_1[i]=max(dp_1[i],dp_1[j]+1));
            }
            
        }
        ans_1=max(ans_1,dp_1[i]);///判断是否加入原来的子序列，否则直接以a[i]单独创建一个子序列
    }
    for (int i=n;i>=1;--i)///仔细理解后就会发现就是反向跑一遍lis
    {
        dp_2[i]=1;
        for (int j=i+1;j<=n;++j)
        {
           if (a[i]>=a[j])///记得加上等于
            {
               ans_2 = max(ans_2,dp_2[i]=max(dp_2[i],dp_2[j]+1));
            }
        }

        ans_2=max(ans_2,dp_2[i]);
    }
    printf("%d
%d
",ans_2,ans_1);
    return 0;
}

O（n^2)的复杂度过了一半

看看二分的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define ll long long
int B[maxn];///入队LIS数组
int A[maxn];///原数组
int C[maxn];///最长非上升子序列数组
int n=0;
int A_search(int r,int x){///>
    int mid,l=1;
    while (l<=r){
       mid=(l-r)/2+r;
       if (B[mid]<x)
       {
           l=mid+1;
       }
       else
       {
           r=mid-1;
       }
    }
    return l;///最后满足就是刚好小于
}

int B_search(int r,int x){///>=
    int mid,l=1;
    while (l<=r){
       mid=(l-r)/2+r;
       if (C[mid]<=x)
       {
            l=mid+1;
       }
       else
       {
            r=mid-1;
       }
    }
    return l;
}

int main()
{
    while(EOF!=scanf("%d",&A[++n])){
    }--n;
    int lis=1;
    B[1]=A[1];
    for (int i=2;i<=n;++i){

        if (A[i]>B[lis]){///如果当前比入队的最大值还大就直接入队
            B[++lis]=A[i];
      }
        else {
             int t= A_search(lis,A[i]);///找到第一个大于等于A[i]的元素位置
             B[t]=A[i];///替换
      }
    }
    int ans=1;
    C[1]=A[n];///倒序
    for (int i=n-1;i>=1;--i){///反向查询
          if (A[i]>=C[ans]){///如果当前比入队的最大值还大或者等于就直接入队
            C[++ans]=A[i];

      }
        else {///由于等于的也可以入队，所以查找时直接就查找大于的位置
             int t= B_search(ans,A[i]);///找到第一个大于A[i]的元素位置
             C[t]=A[i];///替换
            // cout<<t<<endl;
      }
    }
    printf("%d
%d
",ans,lis);
    return 0;
}

当然你也会发现直接找位置就不必判断了，所以选择lowerbound和upperbound

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
#define  ll long long
int n=0;
int a[maxn];///储存原数组
int b[maxn];///储存长度
int c[maxn];///储存当前最小子数组LIS
int d[maxn];///储存长度
int f[maxn];///储存当前最小子数组，非上升子序列
int main()
{
     while (scanf("%d",&a[n])!=EOF)
    {
        ++n;
    }
    fill(c,c+n,INF);
    fill(d,d+n,INF);///由于是要直接得到位置，则最后超过实际的查询长度遇到INF就截止了
    int maxx_1=-INF;
    for (int i=0;i<n;++i)
    {
        int j=lower_bound(c,c+n,a[i])-c;///减去本身得到位置
        b[i]=j+1;
        maxx_1=max(b[i],maxx_1);
        c[j]=a[i];///直接取代
    }
    int maxx_2=-INF;
    for (int i=n-1;i>=0;--i)
    {
        int j=upper_bound(d,d+n,a[i])-d;///由于等于号也算进去，此时只要找到最大位置即可
        f[i]=j+1;
        maxx_2=max(f[i],maxx_2);
        d[j]=a[i];
    }
    printf("%d
%d
",maxx_2,maxx_1);
    return 0;
}