树状数组 进阶篇:区间修改,区间查询
单点更新,区间查询
我们知道,树状数组最基本的功能是 单点更新,区间查询
代码如下:
int lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
void add(int x, int val)
{
while (x <= n)
{
tree[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
int ask(int x)
{
int res = 0;
while (x)
{
res += tree[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
区间更新,单点查询
通过 “单点更新,区间查询” 功能+差分的思想,我们实现了: 区间更新,单点查询
(c[i]=a[i]-a[i-1]),所以,以c[i] 建立树状数组,(a[i]=ask(i))
因为(a[i]=sum_{j=1}^i c[i])
所以我们想让区间([l,r]) 每一个a[i] 都加上x的话,我们只需要(add(l,x),add(r+1,-x))
进入我们今天的主题 :区间更新,区间查询
我们知道数组a[i]的差分数组 c[i] 满足:(a[i]=sum_{j=1}^i c[i])
那么(sum_{i=1}^na[i]=sum_{i=1}^n{sum_{j=1}^ic[i]})
(sum_{i=1}^na[i]=c[1]+(c[1]+c[2])+(c[1]+c[2]+c[3])+dots+sum_{j=1}^n c[i])
(sum_{i=1}^na[i]=n*(c[1]+c[2]+c[3]+dots+c[n])-(c[2]+2*c[3]+3*c[4]+dots+(n-1)*c[n]))
(sum_{i=1}^na[i]=n*(sum_{i=1}^n c[i])- sum_{i=1}^n(i-1)*c[i])
于是我们可以用2个树状数组,分别维护 (c[i]) 和((i-1)*c[i]),数组名分别叫tree1,tree2
区间([l,r]) 的sum和就等于(query(r)-query(l-1))
(query(x)=x*ask(tree1,x)-ask(tree2,x))
如果怕询问([0,x]) 等情况((i-1)<0),可以第二个树状数组tree2维护((i*c[i])),根据差分数组的思想,并不影响结果。
代码:
long long tree1[maxn];
long long tree2[maxn];
long long ask(long long *tree, long long x) {
long long sum = 0;
for (; x; x -= (x & -x)) {
sum += tree[x];
sum %= mod;
}
return sum;
}
void add(long long *tree, long long x, long long y) {
for (; x <= n; x += (x & -x))
{
tree[x] += y;
tree[x] %= mod;
}
}
ll query(ll l, ll r)
{
long long ans = 0;
ans = ( (r + 1) * ask(tree1, r) - ask(tree2, r) ) -( l * ask(tree1, l - 1) - ask(tree2, l - 1) );
return ans;
}
void op(ll l, ll r , ll x)
{
add(tree1, l, x);
add(tree1, r + 1, -x);
add(tree2, l, l * x);
add(tree2, r + 1, -(r + 1) * x);
}