以下内容转自:http://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html
快速幂这个东西比较好理解,但实现起来到不老好办,记了几次老是忘,今天把它系统的总结一下防止忘记。
首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时
1 int poww(int a, int b) { 2 int ans = 1, base = a; 3 while (b != 0) { 4 if (b & 1 == 1) 5 ans *= base; 6 base *= base; 7 b >>= 1; 8 } 9 return ans; 10 }
代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步:因为 base*base==base2,下一步再乘,就是base2*base2==base4,然后同理 base4*base4=base8,由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i ,再看上面的例子,a¹¹= a1*a2*a8,这三项就可以完美解决了,快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句,由于指数函数是爆炸增长的函数,所以很有可能会爆掉int的范围,根据题意选择 long long还是mod某个数自己看着办。
其实我觉得最难理解的就是那个while循环里面的内容,举个例子:11(10) ——> 1011(2)
& 1 的结果就是取二进制的最末位,从右向左①最先遇到 1 于是ans 乘于他的位权base(a^0),②再遇到1 乘于它的位权 base(a^1),③再遇到0 不改变ans,但是位权要积累base变成(a^2),④遇到1乘于它的位权
可能你要问了,位权是什么?
对于多位数,处在某一位上的“1”所表示的数值的大小,称为该位的位权。例如十进制第2位的位权为10,第3位的位权为100;而二进制第2位的位权为2,第3位的位权为4,对于 N进制数,整数部分第 i位的位权为N^(i-1),而小数部分第j位的位权为N^-j。
数码所表示的数值等于该数码本身乘以一个与它所在数位有关的常数,这个常数称为“位权”,简称“权”。