Sqrt(x)——二分法，防越界

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

转自：http://blog.csdn.net/doc_sgl/article/details/12404971

实际面试遇到的题目可能不是对一个整数开方，而是对一个实数。方法和整数其实是一致的，只是结束条件换成左界和右界的差的绝对值小于某一个epsilon（极小值）即可。在C++中我们需要通过两个数的绝对值差小于某个极小值来判断两个double的相等性。实际上两个double因为精度问题往往是不可能每一位完全相等的。

1. 二分法：

这道题一看到函数的定义int sqrt(int x)都是int就高兴了，直接二分吧。但是要注意，即使用long long都TM越界，还要用unsigned long long。最后返回值还要再检查一下。

int sqrt(int x) {  
        // Start typing your C/C++ solution below  
        // DO NOT write int main() function  
        unsigned long long begin = 0;  
        unsigned long long end = (x+1)/2;  
        unsigned long long mid;  
        unsigned long long tmp;  
        while(begin < end)  
        {  
            mid = begin + (end-begin)/2;  
            tmp = mid*mid;  
            if(tmp==x)return mid;  
            else if(tmp<x) begin = mid+1;  
            else end = mid-1;  
        }  
        tmp = end*end;  
        if(tmp > x)  
            return end-1;  
        else  
            return end;  
    }  

2. 牛顿迭代法

   为了方便理解，就先以本题为例：

   计算x² = n的解，令f(x)=x²-n，相当于求解f(x)=0的解，如左图所示。

   首先取x₀，如果x₀不是解，做一个经过(x₀,f(x₀))这个点的切线，与x轴的交点为x₁。

   同样的道理，如果x₁不是解，做一个经过(x₁,f(x₁))这个点的切线，与x轴的交点为x₂。

   以此类推。

   以这样的方式得到的x_i会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断x_i是否是f(x)=0的解有两种方法：

   一是直接计算f(x_i)的值判断是否为0，二是判断前后两个解x_i和x_i-1是否无限接近。

经过(x_i, f(x_i))这个点的切线方程为f(x) = f(x_i) + f’(x_i)(x - x_i)，其中f'(x)为f(x)的导数，本题中为2x。令切线方程等于0，即可求出x_i+1=x_i - f(x_i) / f'(x_i)。

继续化简，x_i+1=x_i - (x_i² - n) / (2x_i) = x_i - x_i / 2 + n / (2x_i) = x_i / 2 + n / 2x_i = (x_i + n/x_i) / 2。

有了迭代公式x_i+1= (x_i + n/x_i) / 2，程序就好写了。关于牛顿迭代法，可以参考wikipedia以及百度百科。

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x ==0)  
            return 0;  
        double pre;  
        double cur = 1;  
        do  
        {  
            pre = cur;  
            cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;  
        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);  
        return int(cur);  
        
    }
};

float InvSqrt(float x)  
{  
    float xhalf = 0.5f*x;  
    int i = *(int*)&x; // get bits for floating VALUE  
    i = 0x5f375a86- (i>>1); // gives initial guess y0  
    x = *(float*)&i; // convert bits BACK to float  
    x = x*(1.5f-xhalf*x*x); // Newton step, repeating increases accuracy  
    return x;  
}