12.16

href{http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1101}{BZOJ 1101 [POI2007]Zap}
这种形式的式子在之前的文章中出现过不少。
将题目中的式子反演化简到最后会得到一个式子:
egin{equation}
ans=sum_{d}^{lfloor frac{n}{k} floor}mu(d)lfloor frac{n}{kd} floor lfloorfrac{m}{kd} floor
end{equation}
par 然后按照之前的思路,求莫比乌斯函数前缀和和枚举除法取值可以通过这道题。
egin{lstlisting}[language={C++}]

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 50005
using namespace std;

typedef long long ll;

int tot;
int mu[N];
int sum[N];
bool mark[N];
int prime[N];

void getmu(int n){
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++){
    	if(!mark[i]){
    		prime[++tot]=i;
    		mu[i]=-1;
    	}
	    for(j=1;prime[j]*i<=n;j++){
		    mark[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
    			mu[prime[j]*i]=0;
    			break;
    		}
		    mu[prime[j]*i]=-mu[i];
	    }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}    
ll query(int n,int m,int k){
    m=m/k,n=n/k;int last;
    ll ans=0;
    for(ll i=1;i<=n;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}

int main(){
    getmu(N);
    int n,m,k;
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if(n>m)swap(n,m);
        printf("%lld
",query(n,m,k));
    }
    return 0;
}

end{lstlisting}
subsection{例题2:}
href{https://www.hackerrank.com/challenges/gcd-product/problem}{GCD Product}
这个网站{color{blue} hackerrank}还是不错的.
题目大意:求$$prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^m(i,j)$$
par 那么又要开始推式子了
egin{align}
ext{设}f(d)=&sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mleft[ (i,j)=d ight]
=&sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}mu(i)lfloor frac{n}{id} floor lfloor frac{m}{id} floor
ext{带入原式可得,}
ans=&prod_{d=1}^nd^{f(d)}
ans=&prod_{d=1}^nd^{sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}mu(i)lfloor frac{n}{id} floor lfloor frac{m}{id} floor}
ext{令}T=&id,
ans=&prod_{T=1}^n(prod_{d|T}d^{mu(frac{T}{d})})^{lfloor frac{n}{T} floor lfloor frac{m}{T} floor}
ext{设}g(T)=&prod_{d|T}d^{mu(frac{T}{d})}
end{align}
我们需要在线性的时间内求出(g(T)),
观察得知(g(T))有以下性质,
egin{equation}
g(T)=egin{cases}
1, &T=1
p, &T=p^q
1, &others
end{cases}
end{equation}
然后枚举每一个质数的整数幂,复杂度(Theta(n)),
总复杂度(Theta (n+sqrt{n}log(n)))