找零问题

问题描述：

给定总金额为n(n为正整数)和若干面值为d1=1<d2<d3<...<dj...<dm的硬币（硬币数量无限），求用最小的硬币数凑足金额n的方案。

注：如果n<d1，那么无法用现有的硬币面值找零，为规避这种情况，假定n>=d1；d1=1能够保障任何正整数n都能被准确的找零。

分析：

为了验证其最优子结构的性质，可以这样考虑：

为了求解问题规模为n的最小硬币数量C(n)，向前思考一步，C(n)实际上可以认为是从问题规模为n-dj(满足d1<=dj<=n)的基础上在选取面值为dj的硬币而来。求解C(n)只需要求解所有满足条件的子问题n-dj中最小的C(n-dj)，那么，C(n)在最小的C(n-dj)基础上加1即可。

其递推关系为：

动态规划实现：

    /*
     * 动态规划实现
     * */
    public static int changeOfLessCoins(int[] ary,int n){
        int m = ary.length;
        int[] aux = new int[n+1];//aux[0]充当哨兵，没事实际含义
        int tmpLest;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            tmpLest = Integer.MAX_VALUE;
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (i>=ary[j]) {
                    tmpLest = Math.min(aux[i-ary[j]], tmpLest);//目的在于找出一个最小的tmpLess
                }
            }
            aux[i] = tmpLest+1;
        }
        return aux[n];
    }

贪心算法实现：

    /*
     * 贪心算法实现
     * */
    public static int changeOfLessCoins(int[] ary,int n){
        int length = ary.length;
        int count  = 0;
        while(n>0){
            for (int i = length-1; i >= 0; i--) {//每次从最大的面值开始选择
                if (ary[i]<=n) {
                    n -= ary[i];
                    count++;
                    break;
                }
            }
        }
        return count;
    }

与找零问题类似的还有像完美平方问题：

给定一个正整数N，用最少的平方数（1,4,9,26,25...）使得其和等于N。

比如N=13，最少的平方数为13=4+9,只需要4和9两个平方数即可。

参考资料：

算法按设计与分析基础.第三版.第十五章