• P3390 【模板】矩阵快速幂


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    点这里

    关于矩阵快速幂

    矩阵定义

    (n×m)个数(a[i][j])排成的(n)(m)列的数表称为(n)(m)列的矩阵,简称(n×m)矩阵。

    矩阵加法

    只有行列均相同的矩阵才有加法

    运算也比较简单,把对应位置的数相加得到一个新的矩阵,即为答案

    [egin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \ 1 & 0 & 1 end{bmatrix} + egin{bmatrix} 2 & 3 & 3 \ 3 & 3 & 2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \ 4 & 3 & 3 end{bmatrix} ]

    加法运算律:

    [A + B = B + A ]

    [(A + B) + C = A + (B + C) ]

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int a[101][101], x, i, j;
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<m;j++)
                cin >> a[i][j];
        for(i=0;i<n;i++)
            for(j=0;j<m;j++){
                cin >> x;
                a[i][j] += x;
            }
        for(i=0;i<n;i++){
            for(j=0;j<m;j++){
                cout << a[i][j] << " ";
            }
            cout << endl;
        }
    }
    

    重载运算符的以后会在总结篇里给出...咕咕咕咕

    矩阵减法

    和上面一样,把+换成-

    矩阵乘法

    前提条件:

    一个矩阵的行数等于另一个矩阵的列数

    也就是若A是(i×j)的矩阵,那么B必须是(j×i)的矩阵(对称的)

    公式:

    [C_{ij} = sum_{i = 1}^n A_{ik} * B_{kj} ]

    注意此处求解时的循环顺序应为:

    	for(int i=0;i<n;++i)
    	{
    		for(int j=0;j<n;++j)
    		{
    			t.m[i][j]=0;
    			for(int k=0;k<n;++k)
    			{
    				t.m[i][j]=(t.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
    			}
    		}
    	}
    

    想知道为什么?

    因为一些缓存问题,请看luogu日报

    例子:

    [egin{bmatrix} 1 & 2\ 2 & 3 end{bmatrix} imes egin{bmatrix} 2 & 4 & 5 \ 3 & 4 & 3 end{bmatrix} = egin{bmatrix} 8 & 12 & 11 \ 13 & 20 & 19 end{bmatrix} ]

    运算规律

    无交换律

    乘法满足结合律,左分配律,右分配律,即

    [(A imes B) imes C = A imes (B imes C) ]

    [(A + B) imes C = A imes C + B imes C) ]

    [C(A + B) = C imes A + C imes B ]

    矩阵快速幂

    就是把普通的快速幂的*换成了矩阵乘法

    代码:

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<stack>
    #include<vector>
    #include<map>
    #include<string>
    #include<cstring>
    #define ll long long int
    #define MAXN 105
    #define mod 1000000007
    using namespace std;
    const int maxn=999999999;
    const int minn=-999999999;
    inline int read() {
    	char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    	while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    	return x * f;
    }
    ll n,k;
    struct matrix
    {
    	ll m[105][105];
    }a;
    /*乘法*/
    matrix cheng(matrix a,matrix b)
    {
    	matrix t;
    	for(int i=0;i<n;++i)
    	{
    		for(int j=0;j<n;++j)
    		{
    			t.m[i][j]=0;
    			for(int k=0;k<n;++k)
    			{
    				t.m[i][j]=(t.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
    			}
    		}
    	}
    	return t;
    }
    /*快速幂*/
    matrix quick_pow(matrix a,ll k)
    {
    	matrix ret=a,b=a;
    	k--;
    	while(k)
    	{
    		if(k&1) ret=cheng(b,ret);
    		b=cheng(b,b);
    		k>>=1;
    	}
    	return ret;
    }
    /*读人*/
    int main()
    {
    	cin>>n>>k;
    	for(int i=0;i<n;++i)
    	{
    		for(int j=0;j<n;++j)
    		{
    			cin>>a.m[i][j];
    		}
    	}
    	a=quick_pow(a,k);
    	for(int i=0;i<n;++i)
    	{
    		for(int j=0;j<n;++j)
    		{
    			cout<<a.m[i][j]<<" ";
    		}
    		cout<<'
    ';
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/pyyyyyy/p/10876577.html
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