【CPL 001】二分

手写二分在涉及负数的时候，处理得不好容易导致死循环，比如下面这个例子：

对于任意的 \(x_1<x_2\) ，若 \(check(x_1)\) 为真，则 \(check(x_2)\) 也为真（真区间在右边）时：

ll findFirst (ll L, ll R) {
    while (L < R) {
        ll M = (L + R) / 2;
        if (check (M)) {
            R = M;
        } else {
            L = M + 1;
        }
    }
    return L;
}

在 \(L==-1, R==0\) 时， \(M==0\) ，若 \(check(M)\) 为真，则下一个迭代时 \(L==-1, R==0\) ，造成死循环。

此类问题的根源来自于保留 \(M\) 的值的那个分支，在上面的例子里，保留 \(M\) 的分支为 \(R==M\) 。只要让 \(M\) 永远不等于 \(R\) ，那么每次迭代都能使得答案区间的长度减少至少 \(1\) 。

下面这样修复可以吗：

ll findFirst (ll L, ll R) {
    while (L < R) {
        ll M = (L + R + 1) / 2;
        if (check (M)) {
            R = M;
        } else {
            L = M + 1;
        }
    }
    return L;
}

其实也是不可以的，在 \(L==0, R==1\) 时， \(M==1\) ，若 \(check(M)\) 为真，则下一个迭代时 \(L==0, R==1\) ，造成死循环。

不想分析那么清楚怎么办？可以把退出的条件放宽一点，在 \(L == R - 1\) 的情形下进行额外检测。

不想写那么多额外的检测怎么办？这里需要使用 C++ 的右移运算符，对于有符号数的负值右移运算符的结果是一个 ub ，但是在 x86 和 x64 的体系下，有符号数的右移运算实现为“算术右移”。

使用这一点可以保证 \(-3>>1==-2, -1>>1==-1, 1>>1==0, 3>>1==1\) ，这就是 \(\lfloor\frac{x}{2}\rfloor\) ，除以2的向下取整。

使用向下取整的方法就可以保证永远取不到上边界啦！

然而这种方法是使用 ub 的，会导致漏洞和CPU的架构相关，bug会非常难以理解。建议还是写特殊处理。

ll findFirst (ll L, ll R) {
    while (L < R + 1) {
        ll M = (L + R) / 2;
        if (check (M)) {
            R = M;
        } else {
            L = M + 1;
        }
    }
    if (check (L)) {
        return L;
    }
    return R;
}

当真区间在左边时：

ll findLast (ll L, ll R) {
    while (L < R) {
        ll M = (L + R) / 2;
        if (check (M)) {
            L = M;
        } else {
            R = M - 1;
        }
    }
    return L;
}

这样写直接就死循环了，正数都会死循环，分析跟上面一样，我们关心那个保留 \(M\) 的分支，发现是赋值给 \(L\) ，而 \(L==M\) 在正数除以2的时候就会轻松出现。

这里的正确写法是

ll findFirst (ll L, ll R) {
    while (L < R) {
        ll M = (L + R) >> 1;
        if (check (M)) {
            L = M;
        } else {
            R = M - 1;
        }
    }
    return L;
}

ll findLast (ll L, ll R) {
    while (L < R) {
        ll M = (L + R + 1) >> 1;
        if (check (M)) {
            L = M;
        } else {
            R = M - 1;
        }
    }
    return L;
}

分析问题，确定问题的真区间是在左半段还是右半段是有必要的，然后针对两种情况选择不同的写法。但是要注意的是这种使用 ub 的行为是不可移植的。

或者用一个不带有 ub 的写法。

ll findFirst (ll L, ll R) {
    while (L < R + 1) {
        ll M = (L + R) / 2;
        if (check (M)) {
            L = M;
        } else {
            R = M - 1;
        }
    }
    if (check (L)) {
        return L;
    }
    return R;
}

ll findLast (ll L, ll R) {
    while (L < R + 1) {
        ll M = (L + R) / 2;
        if (check (M)) {
            L = M;
        } else {
            R = M - 1;
        }
    }
    if (check (R)) {
        return R;
    }
    return L;
}

这里有时候有人担心溢出的风险，其实我觉得是没有必要的，如果加法都要溢出了那么大概是不适合用这个长度的整数了。而且只能说明出题人真恶心。

参考资料

1. 左移和右移运算符 ( " <<" 和 ">>" ) | Microsoft Docs
2. 《算法竞赛进阶指南》P25 0x04 二分