NOIP2000提高组(RQNOJ314)方格取数

题目描述

设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

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思路:看做两个人从左上角开始走，定义dp[i][j][k][l]=第一个人走到(i,j),第二个人走到(k,l).状态转移方程为：dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][j],dp[i-1][j][k][j-1],dp[i][j-1][k-1][j],dp[i][j-1][k][j-1])+(i==j&&k==l)?a[i][j]:(a[i][j]+a[k][l]);

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=15;
int a[N][N];
int n;
int dp[N][N][N][N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int y,x,v;
    while(scanf("%d%d%d",&y,&x,&v)!=EOF)
    {
        if(!y&&!x&&!v)
            break;
        a[y][x]=v;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                for(int l=1;l<=n;l++)
                {
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i-1][j][k-1][l]);
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i-1][j][k][l-1]);
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j-1][k-1][l]);
                    dp[i][j][k][l]=max(dp[i][j][k][l],dp[i][j-1][k][l-1]);
                    dp[i][j][k][l]+=((i==k&&j==l)?a[i][j]:(a[i][j]+a[k][l]));    // 数取走后变为0，所以走到同一点时只需加a[i][j]
                }
    
    printf("%d
",dp[n][n][n][n]);
    return 0;
}

因为开始时两个人均从左上角走起，且同步。所以在任意时刻两个人的横纵坐标之和 是相同的。所以我们可以优化为3维。设dp[k][i][j] 为两个人的横纵坐标之和为k，第一个人的横坐标为i，第二个人的横坐标为j。状态转移方程：dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1],dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1])+(i==j)?a[k-i+2][i]:(a[k-i+2][i]+a[k-j+2][j]);

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=30;
int a[N][N];
int n;
int dp[N][N][N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int y,x,v;
    while(scanf("%d%d%d",&y,&x,&v)!=EOF)
    {
        if(!y&&!x&&!v)
            break;
        a[y][x]=v;
    }
    for(int k=2;k<=2*n;k++)
    {
        for(int i=1;i<=k&&i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=k&&j<=n;j++)
            {
                dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i-1][j],dp[k][i][j]);
                dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i-1][j-1],dp[k][i][j]);
                dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i][j],dp[k][i][j]);
                dp[k][i][j]=max(dp[k-1][i][j-1],dp[k][i][j]);
                dp[k][i][j]+=((i==j)?a[k-i][i]:(a[k-i][i]+a[k-j][j]));
            }
        }
    }
    printf("%d
",dp[2*n][n][n]);
    return 0;
}