最大子矩阵和

 问：给定一个N*M的矩阵，其子矩阵有N*M*N*M个子矩阵，将子矩阵中的每个元素求和，求和最大的子矩阵。

我们可以枚举每个子矩阵，时间复杂度为0（N*M*N*M）,代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=105;
int mat[MAXN][MAXN];
int sum[MAXN][MAXN];
int n;
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&mat[i][j]);
        
        sum[1][1]=mat[1][1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
            sum[1][i]=sum[1][i-1]+mat[1][i];
        for(int i=2;i<=n;i++)
            sum[i][1]=sum[i-1][1]+mat[i][1];
        
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=2;j<=n;j++)
            {
                sum[i][j]=sum[i][j-1]+sum[i-1][j]-sum[i-1][j-1]+mat[i][j];//sum[i][j]表示左上角为mat[1][1],右下角为mat[i][j]所表示的矩阵之和
            }
        
        int res=-10000000;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int x=i;x<=n;x++)
                    for(int y=j;y<=n;y++)
                    {
                        int total=sum[x][y]-sum[x][j-1]-sum[i-1][y]+sum[i-1][j-1];
                        if(total>res)
                            res=total;
                    }
                    
        printf("%d
",res);
    }
    return 0;
}

不过我们可以优化到o(N²*M)我们之前遇到过一个一维数组中最大子段和的问题。其状态转移方程为 if(b[i-1]>0)　b[i]=b[i-1]+a[i] else b[i]=a[i]，

其时间复杂度为0(N)，代码如下：

int MaxSubSegSum(int num[])
{
    int b[MAXN],maxn;
    maxn=b[0]=num[0];
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        if(b[i-1]>0)    b[i]=b[i-1]+num[i];
        else    b[i]=num[i];
        maxn=max(maxn,b[i]);
    }
    return maxn;
}

 我们可以这样想：我们任意取第i行到第j行列全包含的子矩阵。我们将每行求和，转化为求最大子段和问题。我们就可以在O(M)的时间内枚举M*(M+1)/2个子矩阵，而这样的列全包含矩阵有

N*(N+1)/2 个。这样我们就可以在O(N*N*M)的时间内求得，这样大大降低了时间复杂度。

完整代码如下：

#include"cstdio"
#include"cstring"
#include"algorithm"
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int n,m;
int matrix[MAXN][MAXN];
int l,r,up,down;
int ll,rr;
int lll,rrr;
int MaxSubSegSum(int num[])
{
    int b[MAXN],maxn;
    maxn=b[0]=num[0];
    l=r=0;
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        if(b[i-1]>0)
        {
            b[i]=b[i-1]+num[i];
            r=i;
        }
        else
        {
            b[i]=num[i];
            r=i;
            l=i;
        }
        if(maxn<b[i])
        {
            maxn=b[i];
            ll=l;
            rr=r;
        }
    }
    return maxn;
}
int total[MAXN][MAXN];
int MaxSubMat()
{
    for(int j=0;j<m;j++)    total[0][j]=matrix[0][j];
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            total[i][j]=matrix[i][j];
            total[i][j]+=total[i-1][j];
        }
    int maxn=-0x3fffffff;
    int temp[MAXN];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=i;j<n;j++)
        {
            for(int z=0;z<m;z++)
            {
                if(i==0)    temp[z]=total[j][z];
                else    temp[z]=total[j][z]-total[i-1][z];
            }
            if(MaxSubSegSum(temp)>maxn)
            {
                maxn=MaxSubSegSum(temp);
                up=i;
                down=j;    
                lll=ll;
                rrr=rr;
            }
        }
    }
    return maxn;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)    scanf("%d",&matrix[i][j]);
    int ans=MaxSubMat();
    printf(" 最大子矩阵为:
");
    for(int i=up;i<=down;i++)
    {
        for(int j=lll;j<=rrr;j++)    printf("%d ",matrix[i][j]);
        printf("
");
    }
    printf("其和为:%d
",ans);
    return 0;
}
/*
3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2

3 -1
-1 3
1 2
7
*/