数论分块
对于一个包含 (left lfloor dfrac{n}{i} ight floor) 的求和式子，如：
会出现许多 (left lfloor dfrac{n}{i} ight floor = left lfloor dfrac{n}{j} ight floor = x (i eq j)) 的情况。
我们要对于每一个 (x) 找到一个最大的 (j) 使得(left lfloor dfrac{n}{i} ight floor = left lfloor dfrac{n}{j} ight floor = x)。
这个 (j) 就等于 (left lfloor dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor} ight floor)。
证明
对于 (left lfloor dfrac{n}{i} ight floor = left lfloor dfrac{n}{j} ight floor (i < j)) 有：
(egin{cases}left lfloordfrac{n}{i} ight floorleq dfrac{n}{j} = left lfloor dfrac{n}{j} ight floor + r (0leq r < 1) \ dfrac{n}{j + 1} < left lfloor dfrac{n}{i} ight floorend{cases})
(left lfloordfrac{n}{i} ight floorleq dfrac{n}{j} Rightarrow j leq dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor})
(dfrac{n}{j + 1} < left lfloor dfrac{n}{i} ight floor Rightarrow dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor} < j + 1)
综上所述：(j leq dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor} < j + 1)
又 (ecause j in mathbb N_{+} herefore j = left lfloor dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor} ight floor)
复杂度分析
(forall n in mathbb N_{+}, left | left{ leftlfloordfrac{n}{d} ight floormid d in mathbb N_{+},d leq n ight} ight| leq 2sqrt n)
其中 (|V|) 表示 (V) 这个集合的元素个数。
证明：
对于 (d leq sqrt n) 的部分 (leftlfloordfrac{n}{d} ight floor) 最多有 (sqrt n) 个数。
对于 (d > sqrt n) 的部分 (leftlfloordfrac{n}{d} ight floor) 最多有 (sqrt n) 种不同的取值。
证毕。
所以复杂度为 (O(sqrt n))。
小拓展
对于下式
上文中的 (j) 应该等于 (min(left lfloor dfrac{n}{left lfloor dfrac{n}{i} ight floor} ight floor, left lfloor dfrac{m}{left lfloor dfrac{m}{i} ight floor} ight floor))。