Part 5 多元函数基础

多元函数微分学

多元函数的定义

设(Dsubset mathbb{R}^n, D ot=varnothing)，如果存在一个对应法则(f)，对每一个(P(x_1, x_2cdots x_n)in D)， 都有唯一的一个实数(y)与之对应，则称(f:forall Pin Dmapsto y)是(D)上的(n)元函数，记作(y=f(P),pin D)或(y=f(x_1, x_2, cdots x_n), P(x_1, x_2, cdots x_n)in D)

定义域的求法

使表达式有意义，如果还涉及实际问题，不能违背常理

平面点集的分类

二维邻域

设(P_0(x_0,y_0)inmathbb{R}^2, {P:d(P_0, P)< delta, (delta)是某个正数()Pin mathbb{R}^2}xlongequal{mathrm {def}}P_0)的(delta)邻域。类似地可以定义去心邻域。

包含关系

内点（(int E)）、外点、边界点。全体边界点组成的集合称为边界，记作(partial E)

孤立点必然是边界点

若(int E=E)，则(E)为开集。

若(mathbb{R}^2-E)为开集<这个不太好，因为(mathbb{R}^2)既开又闭>，称(E)为闭集。或定义为(partial Esubset E)

连通集、开区域（可简称为区域）、闭区域（(int E+partial E+isolated points)）

点集的直径：(sup{d(p_1, p_2), p_1, p_2in E})（直径有上界称为有界集）

多元函数的极限

类似一元函数，可以写出定义。趋近过程要求两个自变量其一不等于趋近点。

几个重要性质：

1. (limlimits_{x o x_0atop{y o y_0}}f(x,y)=ALeftrightarrow f(x,y)=A+alpha(x, y))，其中(limlimits_{x o x_0atop{y o y_0}}alpha(x ,y)=0)
2. 有夹逼，无单调有界
3. 有四则运算

判断二元函数极限不存在的方法：

1. 不同路径趋近所得极限不同。
2. 取一个路径极限不存在（少用。因为直接求极限不存在很困难）
3. 累次极限均存在，且不等

多元函数的二重极限和累次极限的对比

累次极限(limlimits_{y o y_0}limlimits_{x o x_0}f(x,y) (x ot=x_0, y ot= y_0))本质上是求两次求一元函数极限，与二重极限不同。

例:(limlimits_{x o0atop{y=kx}}frac{2xy}{x^2+y^2}=limlimits_{x o0}frac{2xcdot kx}{x^2+k^2x^2}=frac{2k}{1+k^2})无极限
但(limlimits_{y o0}limlimits_{x o0}frac{2xy}{x^2+y^2}=0)

定理：若(limlimits_{x o x_0atop{y o y_0}}f(x,y),limlimits_{y o y_0}limlimits_{x o x_0}f(x,y),limlimits_{x o x_0}limlimits_{y o y_0}f(x,y))都存在，那么三者相等。

累次极限

累次极限本质上是一种极限的复合。所以要让外层存在极限，里层必须有极限。

从点集关系理解，由于二重极限可以一次动两个点，自由度更高，在这个极限点位于边界的情况下，存在极限的可能性更大。而累次极限至少先定一个，所以想象一下(f(x,y)=xsinfrac{1}{y}+ysinfrac{1}{x})的定义域是一个缺十字的平面，先定其一，比如(x)，总是一个定值，那么它所确定的(xOz)平面在这个狭缝周围，与曲面会切出一条不光滑的交线（主要由(xsinfrac{1}{y})决定其中(x)为定值，由于第二次极限结果不为0），所以累次极限不存在。

在知乎上写着写着发现问题了。这跟极限的复合是一样的。先第一次(x o0)，是一个平面向(x=0)逼近过程当中截线如同龙飞舞一般，对应每一个(y)的值都不稳定。从而发现第二次极限根本就不可能做，因为第一次做完，已经算不上是函数了。

多元函数的连续

多元点的趋近

多元连续函数的性质

最值定理，介值定理（零点存在性定理）

定义 全增量(Delta z=f(x_0+Delta x, y_0+Delta y)-f(x_0, y_0))

连续的第二种定义(limlimits_{Delta x o0atop{Delta y o0}}Delta x=0)

初等多元函数在定义域区域上的每一点处都连续。

分段函数(longrightarrow)分块函数

多元函数的偏导数

例

[u=x^{y^z} ]

求(frac{partial u}{partial y}=x^yln xcdot zy^{z-1})(复合函数求导法则)

三种定义(limlimits_{Delta x o0}frac{f(x_0+Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{Delta x}=limlimits_{Delta x o0}frac{Delta_xz}{Delta x}=limlimits_{x o x_0}frac{f(x, y_0)-f(x_0, y_0)}{x-x_0})
四种两类记法
(frac{partial z}{partial x}Big|_{x=x_0atop y=y_0}=z'_xBig|_{x=x_0atop y=y_0}=f'_x(x_0, y_0)=frac{partial f}{partial x}Big|_{x=x_0atop y=y_0})

一元函数的导数和多元函数的偏导数的关系

(frac{partial}{partial x})和(frac{partial}{partial y})才是整体的算子。

对于一个二元隐函数(F(x,y)=0)而言(frac{mathrm dx}{mathrm dy}cdotfrac{mathrm dy}{mathrm dx}=1)
对于三元隐函数(G(x, y, z))来说,(frac{partial z}{partial x}cdotfrac{partial x}{partial y}cdotfrac{partial y}{partial z}=-1)

高阶偏导数

例 (u=frac{1}{sqrt{x^2+y^2+z^2}})

(frac{partial^2 u}{partial x^2}=-(x^2+y^2+z^2)^{-frac{3}{2}}+3x^2(x^2+y^2+z^2))

轮换对称得(partial^2_yu,partial^2_zu)然后得(Delta=partial^2_x+partial^2_y+partial^2_z=0)称作Laplace算子

混合偏导

如果二元函数在某区域上连续则(frac{partial^2}{partial xpartial y}, frac{partial^2}{partial ypartial x})在此区域上相等。
混合二阶偏导分母上的(partial x, partial y)顺序暂不强调，通常都相等。

全微分

(A(x,y)Delta x+B(x,y)Delta y)称为全微分。

如果(f(x, y))可微，则(partial_x, partial_y)存在且(mathrm dz=frac{partial z}{partial x}mathrm dx+frac{partial z}{partial y}mathrm dy)(证明时可以从退化的情况开始)

点可微必点连续。点可微必点偏导存在（( ho o0RightarrowDelta z o0)）但点偏导存在推不出点可微

偏导函数点连续推点可微：理解是由于存在方向性，微分需要一个稳定拟合的切平面。为了使当( ho)极小的时候这个平面稳定。必须保证至少存在一个小区域里这两个偏导函数足够光滑（然后在极限的语境之下就可以稳定了），如果其一无论如何不连续，比如震荡，那稍微换一条路径逼近的时候无论多么接近总会发生平面的不稳定。

方向导数和梯度

( abla z={frac{partial z}{partial x}, frac{partial z}{partial y}})

复合函数的偏微分

（由于偏微分算子(frac{partial}{partial x})不是一个分式，所以此处的证明不用像一元函数链式法则那样繁琐）

(u=f(x,y,z), z= g(x, y))
(frac{partial u}{partial x}=f_x'+frac{partial f}{partial z}frac{partial z}{partial x})，式中(partial_x)和(frac{partial u}{partial x})的意义是不一样的。

通过全微分可以反推偏导，不用死记公式列式找待求的偏导。只需要按照隐函数求导法得出方程即可。

拉格朗日乘数法

是(Fermat)引理的自然延伸。

[L(x, y, z)=f(x, y, z)+lambdacdotvarphi(x, y, z). ]

[egin{cases} L_x(x_0, y_0,z_0)=0\ L_y(x_0, y_0,z_0)=0\ L_z(x_0, y_0,z_0)=0 end{cases} ]