• 学习笔记·群论入门


    写在前面:群真的太强大了!感觉学会了群就学会了什么不得了的东西(233)

    群的定义((Definition~of~Group))

    比较简单的来讲,所谓(( m{group}))指的是一类特殊的集合,这个集合包含一组元素和大于等于一个的运算,比如乘法群救记作((G,cdot))。那么平凡来讲,群满足下列几个性质:

    我们假定一个平凡的群(G)支持(color{purple}{qwq})这种运算:

    (Property1~~)封闭性$$forall ain G, bin G, a~color{purple}{qwq}~b in G$$

    (Property2~~)运算的结合性$$(a~color{purple}{qwq}~b) ~color{purple}{qwq}~ c=a~color{purple}{qwq}~ (b ~qwq~ c)$$

    (Property3~~)存在单位元(幺元)满足以下定义:$$exists ein G, s.t. forall ain G, e~color{purple}{qwq}~ a=a~color{purple}{qwq}~e=a$$

    (Property4~~)对于每个元素,存在逆元,即满足 $$forall ain G, exists bin G, s.t. a~color{purple}{qwq}~ b=b~color{purple}{qwq}~a=e$$

    那么也就是说的直白点吧,对所有的元素,做完该群所带有的带有结合律的运算之后,所得结果仍然属于该群且一定存在单位元,对于每个元素存在运算逆元。

    那我们不妨定义一些其他的:

    阿贝尔群((Abel~ Group)):即交换群——运算满足交换律的群。

    半群:满足封闭性和结合律的群。

    有限群((Finite~Group)):元素个数有限的群称为有限群,而有限群的元素个数称作有限群的阶

    结合几个例子来解释一下:

    比如以下是几个乘法群$$(Qsetminus{0}~,~cdot)~, (Rsetminus{0}~, ~cdot)~,~ (Csetminus{0}~,~cdot)$$

    他们都不能包括(0)这个元素,因为这个元素显然是没有逆元的。

    或者一个好玩儿的乘法群$$({1,-1}~~, ~~cdot)$$或者是所有非奇异的(n)阶矩阵也可以组成一个乘法群。

    或者是$$(Z~,~+)$$这个群比较经典(233),其中我们借助这个来练习一下如何判断是否成群,首先思考,这个东西一定是封闭的,因为最后会收敛于(pm inf)所以一定封闭,其次运算是一定符合结合律的,然后单位元肯定就是(0),最后逆元的话,对于(n)那就一定是(-n)了(紧扣定义即可)。


    (Extra Things :)

    以下是两种复合抽代数据结构(名字自己起的(233)):

    环:定义在两个运算上,((G,+,cdot))其中((G,+))是阿贝尔群,((G,cdot))是半群

    举例子:(Z), (R[x]),即整数环和(R)上的所有多项式的集合。

    域:同样定义在两个运算上,((F,+,cdot))其中((F,+))是阿贝尔群,((Fsetminus{0},cdot))是阿贝尔群

    举例子 :(Q,R,C)即有理数域、实数域和复数域。


    好的,那我们尝试证明两个命题:

    (Proposition1~~~~)一个群中的单位元唯一

    设有两个单位元(e_1,e_2)

    那么(e_1=e_1e_2=e_2),其实是一个(233)

    (Proposition2~~~~)群中元素的逆元唯一

    以乘法群为例,假设(a)有两个逆元(b,c),那么一定会有$$b = b cdot(a cdot c) = (b cdot a) cdot c = c$$

    显然也是同一个。

    那么此时我打算整理一个群的共性特征:

    [(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} ]

    很显然,证明如下:

    [ab(b^{-1}a^{-1})=b^{-1}a^{-1})ab=e ]

    提这个的目的就是,我们发现在矩阵的相关内容里面也有这件事儿~所以就很开心

    那么之后我们讨论周期

    对于一个元素(a in G)而言,我们记(a)的周期是(o(a))

    (o(a))表示最小正整数,使得(a^{o(a)}=e)

    子群及其衍生

    本节所指“群”没有特别说明便均为有限群

    不妨先给出子群的浅显版定义:

    如果对于一个群((G, C)) ,其中(Hsubseteq G),,且 ((H,C))是群,那么我们称在运算(C)下,(H)(G)的子群,用(Hleq G)表示

    那么从而我们可以定义生成子群这个东西:

    生成子群:若(S subseteq G), 并且对于运算(C)而言,((G,C))也是一个群,那么就称(G)为集合(S)在运算(C)下的生成子群。集合(S)的生成子群用(<S>)表示

    这之后我们就可以定义陪集这个概念

    陪集一般上包含左陪集右陪集

    左陪集:如果(H leq G),对于(a in G),定义集合(H_a = {xin G~|~ exists hin H, ah=x})(H)的与元素(a)左陪集。

    右陪集: 如果(H leq G),对于(a in G),定义集合(H_a = {xin G~|~ exists hin H, ha=x})(H)的右陪集。

    (233)也可以叫做傍集或者旁系之类的~

    那么我们这个地方先只研究右陪集(233)

    (Lemma1:)

    我们首先证明一点:(|H|=|H_a|),其中长得像绝对值符号的竖线表示的是有限群的群中元素数量

    这个其实比较显然,因为事实上群都是定义在非可重集上面的。

    较为严谨的证明如下:


    (Proof.)

    对于(H leq G),如果(h_1 eq h_2 in H),那么(h_1a eq h_2a)

    反证:若(h_1a=h_2a)(h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2)矛盾

    对于不同的(h)(ha)互不相同,因此(|H_a|=|H|)


    (Lemma2:)

    之后我们再证明一些好玩儿的:

    命题:(H_a=H_b)当且仅当(ab^{-1}in H)

    看起来好像不是那么好玩……


    (Proof.)

    (H_a=H_b),则(eain H_a),即(ain H_b),那么(exists hin H,~a=hb),那么(ab^{-1}=h)

    (ab^{-1}in H),那么(ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})bin Hb),因此(H_asubseteq H_b)

    (hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}ain H_a),故(H_bsubseteq H_a)

    因此(H_a=H_b)


    那么我们还可以有一个推论:

    (H_a eq H_b),那么(H_acap H_b = emptyset)


    (Proof.)

    假设(xin H_acap H_b), 则(exists h_1,h_2in H)(h_1a=h_2b=x) , 那么(ab^{-1}=h_1^{-1}h_2in H),那么(H_a=H_b),矛盾


    从而还可以有个定理((Lagrange)定理):

    由于(forall gin G)(gin Hg),所以(G)中每个元素都在某个傍集中。用([G:H])表示不同的傍集数,那么

    [|G|=|H|cdot [G:H] ]

    也就是说(|H|)(|G|)的约数。

    这个其实很显然,因为不同元素的傍集如果不同就不会有交集,如果相同就不会被考虑到([G:H])里面。所以结论平凡。

    但是其实这是个很伟大的定理(233)


    好的,那么从而就会有一些神奇的推论:

    **推论一 : 对于一个元素(a in G)(G)是一个群,那么(o(a) | G) **

    (Proof.) 因为(o(a) = |<a>|),由我们刚刚证明的定理可以得出(o(a) | G)

    推论二:对任意的(a in G,a ^{|G|} = e)

    (Proof.) 比较显然,由推论一可知。

    推论三:若(|G|)为素数,则(G)是循环群

    (Proof.)(a eq e),那么会有(|<a>|)整除(|G|)。而由于(|G|)是个素数,所以只有可能(|G| = |<a>|) ,所以(G)是个循环群。

    接下来我们真的要去做些好玩的了~


    定理(1)·(Fermat)小定理

    如果(p)为素数,那么存在$a^{p-1} equiv 1 (mod p) $

    $Proof. $

    考虑质数(p),考虑群(G={1,2,dots,p-1}),群的运算定义为对(p)取模的乘法,那么由(Lagrange)可知:

    [forall ain G, a^{p-1}=1(mod p) ]

    定理2·(Euler)定理

    (a^{phi(n)}=1 (mod n))

    (Proof.)

    考虑(nin N^{+}),考虑群(G={1leq xleq n~|~gcd(x,n)=1}),群的运算定义为对(n)取模的乘法

    那么会有(|G|=phi(n)),从而有:

    [forall ain G, a^{phi(n)}=1 (mod n) ]


    没错,证明十分的简洁美观。

    作者被这种神奇的证明给折服了(stO).

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