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零、题目原文
一个人口统计办公室要绘制一张地图。
由于技术的原因只能使用少量的颜色。两个有相同或相近人口的区域在地图应用相同的颜色。例如一种颜色 (k)，则 (A(k)) 是相应的数，则有：
在用颜色(k) 的区域中至少有一半的区域的人口不大于 (A(k))。
在用颜色(k) 的区域中至少有一半的区域的人口不小于 (A(k))。
区域颜色误差是该区域的人口与 (A(k)) 差的绝对值。累计误差是所有区域颜色误差的总和。我们要求出一种最佳的染色方案，使得累计误差最小。
(10 < n < 3000)， (2 ≤ m ≤ 10)
人口数 (< 2^{30})
一、简明题意
(n) 个区域，每个区域人口是(a[i])，(m) 种颜色，现在要对所有区域着色。
(A(k)) 即是中位数。（因为有一半区域不大于或不小于，所以肯定不大于与不小于的个数相等，即为中位数）
区间误差即为连续同样颜色区间的每个数与中位数的绝对值之和，累计误差即为所有区间误差之和。
二、思路
1、朴素转移
这题题目都讲了区间，明显的区间DP......
令(f[i][j]) 表示考虑了前(i) 个区域，已经用了(j) 种颜色的最小误差
则枚举 (k), (f[i][j]) 一定是从前k个区间的最小值再加上从(k+1) 至 (i) 的区间误差，
状态转移方程式：(f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + color(k + 1, i))) ，其中(color) 即为区间误差之和。
时间复杂度：(O(N ^ 3M))
很明显，这个巨大的复杂度会T飞，所以需要一些优化
2、求值优化
再思考优化(color) ，可以先前缀和(sum) 求出每一段的人口数，而中位数即为排好序后中间两个数的平均数。
所以区间误差之和不难得出，可以得到以下(O(1)) 的柿子：
(a[mid] * (mid - l) - sum[mid - 1] + sum[l - 1] - a[mid] * (r - mid) + sum[r] - sum[mid]) ，（其中mid即为中间那个位置，不是中位数！）
所以可以把这一个柿子单独写个函数拉出来，可以将时间复杂度优化到(O(N ^ 2M))
三、code
注意开始需要先排序，这样求中位数可以优化。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3005;
const int M = 15;
int n, m;
int f[N][M], sum[N], a[N];
int color(int l, int r)
{
int mid = (l + r) / 2;//求中位数的位置
return a[mid] * (mid - l) - sum[mid - 1] + sum[l - 1] - a[mid] * (r - mid) + sum[r] - sum[mid]; //O(1)优化
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
}
sort(a + 1, a + n + 1);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];//前缀和预处理
}
memset(f, 0x3f, sizeof f);//开始全赋最大值
f[0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
for(int k = 0; k < i; k++)
{
f[i][j] = min(f[i][j], f[k][j - 1] + color(k + 1, i));//转移方程
}
}
}
cout << f[n][m];
return 0;
}