CodeForces 665E. Beautiful Subarrays(字典树)(贪心)(异或前缀和)

题意:给定一个长度为n(1 <= n <= 1e6)的数组a[i](0 <= a[i] <= 1e9)和k(1 <= k <= 1e9)。求有多少个区间[l, r]是合法的。我们认为一个区间是合法的，当且仅当(a[l]oplus a[l + 1]oplus a[l + 2] oplus ... a[r] >= k)。

分析:对于一个区间是否合法，我们可以先求出异或的前缀和，对于一个区间[l, r]合法，代表者(sum[l - 1] oplus sum[r] >= k)，我们枚举每个当前的前缀和，然后用一个数据结构(trie树)维护，查询之前多有少个前缀和和当前的前缀和异或起来>=k，然后我们分析一下，如何在查询的时候求出和当前(sum[r])异或起来大于>=k的前缀和。我们从根节点出发，从每个数的二进制最高位开始统计，比较sum[r]和k的最高位，如果k的这一位代表0，我们就直接累加起来和sum[r]异或起来当前为1的那棵子树中存在的前缀和数量，即(+cnt[tr[p][!u]])，u表示sum[r]当前位的数，那么不管之后怎么走，异或起来都大于k，然后我们再统计和当前sum[r]异或起来为0的前缀和数量，直接继续走就可以，因为这棵子树中还存在一些前缀和，和当前前缀和异或起来>=k的数。然后当k的这一位等于1的时候，我们无法直接判断，直接继续走就可以。

字典树的结点个数要开多少呢，可以看出(a[i]in{[0, 1e9]})，(log(1e9) == 30)，那么我们可以开(1e6 * 30 = 3e7)个结点。

字典树不仅能在叶子结点维护插入的数的数量，而且能在每个结点上累加，代表这里曾今被插过的数的数量。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 30 * 1000005;
const int M = 1000005;
int tr[N][2], idx;
int cnt[N];
int a[M];
int sum[M];

int n, k;

void insert(int val)
{
	int p = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; --i)
	{
		int u = (val >> i) & 1;
		if (!tr[p][u]) tr[p][u] = ++idx;
		p = tr[p][u];
		++cnt[p];
	}
}

int query(int val)
{
	int p = 0, sum = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; --i)
	{
		int u = (val >> i) & 1;
		int c = (k >> i) & 1;
		if (c == 0)
		{
			int k = tr[p][!u];
			sum += cnt[k];
			if (tr[p][u] == 0) return sum;
			p = tr[p][u];
		}
		else
		{
			p = tr[p][!u];
			if (p == 0) return sum;
		}
	}
	return sum + cnt[p];
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		sum[i] = sum[i - 1] ^ a[i];
	}

	LL res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		res += query(sum[i]);
		insert(sum[i]);
	}

	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		if (sum[i] >= k) ++res;
	}

	printf("%lld
", res);

	return 0;
}