线性代数（笔记五）
课程来源：网易云课堂学习计划（课程链接）
作者简述：作者为一名正在读研的学生，自己的数学状态较差。本科期间所学均能算跟得上，而且通过自己的努力经过了研究生考试。但是对数学的理解并不透彻，只是根据课上所学去做题而已。如今科研中，许多过程均需要用到所学的数学知识，然而一个好的理解和一个扎实的基础才是科研之本。数学虽然是作为一种工具，如果不了解含义，无论是是使用上还是在其基础之上进行修改均显得支支吾吾。于是决定重新学习线性代数相关知识，并做此笔记以供复习或和他人分享。
用途：此系列文章均是作者在课上所学及其自己相关的数学思想所做的笔记，如有理解错误之处还望大家指出。本系列文章均可不咨询情况下任意转载和学习（不可商用）。
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在上节课中，我们讲述了几个求解矩阵逆的基本公式，同时讲解了A的LU分解。在这节课中我们将讲述矩阵的两种变换，分别是矩阵的置换和矩阵的转置。
一、矩阵的置换（Permutation）
可以在维基百科中查到关于Permutation的定义，他的意思是将特定序列的元素重新排列。比如（1,2,3）这个序列的置换有（1,3,2）等。我们这里用3×3的单位矩阵做置换变换，看我们能得到哪些矩阵：
上面的六个矩阵分别是单位阵的六种置换变换（这里我们把他本身也算在内）。如果把矩阵理解为变换的话，那么他们分别表示将第一行与第二行进行互换的变换（图2）、第一行与第三行进行互换的变换（图3）、第一行变换到第二行，第二行变换到第三行，第三行变换到第一行的变换（图5）等等。
对于矩阵的置换有一个很明显的特征就是置换矩阵P的逆等于P的转至，即P~ = P^。那么由逆的基本公式（A~A = I），可以推导出（P^ P = I）
在上节课我们讲解A的LU分解过程中，我们假设消元过程中不存在因为找不到主元而交换矩阵两行的变换。而在我们实际的消元过程中，交换两行的变换是很常见的。如今，我们就可以将置换加进A的LU分解中来表示消元过程中所需要的行变换。
P表示：执行行变换的矩阵，则A = LU 扩展为：
PA = LU
二、矩阵的转置（Transpose）
矩阵的转置在没有讲之前我们已经接触过了，对于一个矩阵A有如下例子：
那么他的转置为：
很显然，一个矩阵的转置(A^)ji = Aij。如果矩阵不为方阵，例如A是一个2×3的矩阵，那么转置后的矩阵为A^为3×2。
现在有个问题是，什么样的矩阵转置后等于自己本身呢？下面我们看如下例子：
我们把转置后等于自己本身的矩阵称之为对称矩阵（Symmetric），即存在A^ = A。可以看出对称矩阵一定是方阵，对称矩阵很特殊，但是也很常见。例如我们对一个矩阵R做如下计算即可获得对称矩阵：
矩阵R^R = K，K是一个对称矩阵。原因是对于K^ = （R^R）^ = R^R^^ = R^R = K。K的转置等于其本身。
这节课的内容相对较少，是因为我将向量空间的介绍知识和第六节（向量空间的详细讲解）进行了合并。