多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题

一类多重小数部分和的渐近式与Ovidiu Furdui积分问题

最近（6月），网友王永强先生发给好友曾熊一个渐近式，即如下 $k=2$ 的情形，熊哥转述给我后，觉得比较有意思，然后我和马明辉做了推广，考虑了如下 $k$ 重和式

egin{equation}label{eq:1}
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N}dotsc sum_{n_{k}=1}^{N}
left{ frac{N}{n_1+n_2+dotsb+n_k} ight}
end{equation}
的渐近估计，${cdot }$ 表示小数部分．和式取遍不超过 $N$ 的正整数 $n_1,n_2,dotsc, n_k inmathbb{N}_{+}$.

当 $k=1$ 时，eqref{eq:1} 式可由著名的 Dirichlet 除数问题得到，我们有
egin{equation}label{eq:2}
sum_{n_1=1}^{N} left{ frac{N}{n_1} ight} = (1-gamma) N + Oig(sqrt{N}ig)
end{equation}
其中 $gamma$ 是 Euler 常数．迄今， eqref{eq:2} 式中余项最好的上界估计是 2017 年 J. Bourgain 和  N. Watt (Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited,  arXiv:1709.04340v1) Theorem 2 的结果: $Oig( N^{frac{517}{1648}+varepsilon} ig)$.

特别地，当 $k=2,3,4,5$ 时，我们证明了如下结果：
egin{align*}
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2} ight}
& = left(2log2-frac{zeta(2)}{2} ight)N^2+O(Nlog N) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3} ight} & = left(frac{9}{2}log 3 - 6log 2 - frac{zeta(3)}{6} ight) N^3
+ O(N^2) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} sum_{n_4=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} ight} & = left(frac{88}{3}log 2 - 18 log 3 - frac{zeta(4)}{24} ight)N^{4} + O(N^3) \
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} sum_{n_3=1}^{N} sum_{n_4=1}^{N} sum_{n_5=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} ight} & = left(frac{625}{24}log 5+ frac{135}{4}log 3 - frac{340}{3}log 2 - frac{zeta(5)}{120} ight)N^{5} + O(N^4).
end{align*}

当然我们也证明了 $k$ $(kgeqslant 2)$ 重和式的渐近公式．

一般地, 对于 $kgeqslant 2$, 我们得到了如下定理:

对于 $kgeqslant 3$, 我们有
egin{equation*}
sum_{n_1=1}^{N} dotsc sum_{n_{k}=1}^{N}
left{ frac{N}{n_1+dotsb+n_k} ight}
= left( frac{1}{(k-1)!}sum_{j=2}^{k} (-1)^{k+j} j^{k-1} inom{k}{j} log j - frac{zeta(k)}{k!} ight) N^{k} + Oig(N^{k-1}ig).
end{equation*}
其中 $inom{k}{j}=frac{k!}{j!(k-j)!}$ 是二项式系数, $log x$ 是自然对数, $zeta(k)=sumlimits_{ell=1}^{infty} frac{1}{ell^k}$ 为 Riemann zeta 函数.

当 $k=2$ 时, 有
egin{equation}label{eq:3}
sum_{n_1=1}^{N} sum_{n_2=1}^{N} left{ frac{N}{n_1+n_2} ight}
= left(2log2-frac{zeta(2)}{2} ight)N^2+O(Nlog N),
end{equation}
其中 $zeta(2)=pi^2/6$.

Ovidiu Furdui 在其著作 (Furdui O. Limits, Series, and Fractional Part Integrals: Problems in Mathematical Analysis. New York: Springer, 2013.) 中第 2 章专门研究了一系列小数部分积分, 并给出如下未解决问题:

问题 [p.109]：设整数 $kgeqslant 3$, $mgeqslant 1$, 计算出积分
egin{equation*}
int_{0}^{1} dotsi int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+dotsb+x_k} ight}^{m} mathrm{d}x_{1} dotsm mathrm{d}x_{k}
end{equation*}
闭形式的公式.

2016 年, Ovidiu Furdui 本人给出上述问题 $m=1$ 的情形 (见 [p. 262, Theorem 4, Furdui O. Multiple Fractional Part Integrals and Euler’s Constant. Miskolc Mathematical Notes, 2016, 17(1): 255-266.]) 的递推公式, 而其递推公式涉及其他类型的积分, 计算很繁复.

从我们的定理间接地解决了 Ovidiu Furdui 小数部分积分 $m=1$ 的情形. 考虑 $k$ 重积分的定义, 不难得到

egin{equation*}
int_{0}^{1} dotsi int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+dotsb+x_k} ight} mathrm{d}x_{1} dotsm mathrm{d}x_{k}
= lim_{N o infty} frac{1}{N^k} sum_{n_1=1}^{N} dotsc sum_{n_{k}=1}^{N}
left{ frac{N}{n_1+dotsb+n_k} ight}.
end{equation*}

则我们有如下推论:

当 $k=1$ 时
egin{equation*}
int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1} ight} mathrm{d}x_{1}
= 1-gamma.
end{equation*}
当 $kgeqslant 2$ 时
egin{equation*}
int_{0}^{1} dotsi int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+dotsb+x_k} ight} mathrm{d}x_{1} dotsm mathrm{d}x_{k}
= frac{1}{(k-1)!}sum_{j=2}^{k} (-1)^{k+j} j^{k-1} inom{k}{j} log j - frac{zeta(k)}{k!}.
end{equation*}

例如, 当 $k=2,3,4$ 时有
egin{align*}
int_{0}^{1}int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+x_2} ight} mathrm{d}x_1 mathrm{d}x_2 & = 2log2-frac{zeta(2)}{2}, \
int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+x_2+x_3} ight} mathrm{d}x_1 mathrm{d}x_2 mathrm{d}x_3 & =
frac{9}{2}log 3 - 6log 2 - frac{zeta(3)}{6}, \
int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{1} int_{0}^{1} left{ frac{1}{x_1+x_2+x_3+x_4} ight} mathrm{d}x_1 mathrm{d}x_2 mathrm{d}x_3 mathrm{d}x_4 & =
frac{88}{3}log 2 - 18 log 3 - frac{zeta(4)}{24}.
end{align*}

更新：本文将发表在《大学数学》，暑假 8 月13 投稿，10 月 11 修改。