• 矩阵分析基础常见矩阵


    单位阵(Identity Matrix)

    定义:单位阵是对角元素为1,其它元素为0的方阵。

    image_thumb54,也可表示为In = diag(1,1,...,1)

    性质:

    AIn = AInB = B

    对称阵(symmetric matrix)

    定义:对称阵为其转置和自身相等的方阵,即元素以主对角线((左上至右下)为轴进行对称,AT = A

    斜对称阵(skew-symmetric matrix)

    定义:对称阵为其转置和自身加法逆相等的方阵,AT = − A。

    性质:

        • 1)斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵
        • 2)任意矩阵AATA是斜对称矩阵。
        • 3)若A是斜对称矩阵,x向量xTAx = 0
        • 4)斜对称矩阵的主对角线元素必是零,所以其迹数为零。

    初等矩阵(Elementary Matrix)

    接近问题时,常将复杂问题分解为一些基础模块。这里要介绍的就是如何将一个矩阵分解为一系列初等矩阵的乘积。

    定义:一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。

    初等矩阵分为3种类型,分别对应着3种不同的行/列变换。

    1)类型1,互换行/列: R_i \leftrightarrow R_j。如下互换第i,j行                                      image
    2)类型2,把某行/列乘以一非零常数: kR_i \rightarrow R_i,\ 其中 k \neq 0                                    image
    3)类型3,把第 i 行(列)加上第 j 行(列)的 k 倍: R_i + kR_j \rightarrow R_i                                  image

    性质:

    • 1)T_{ij}^{-1} = T_{ij};| Tij | = − 1; | TijA | = − | A | 。
      • 2)T_{i}(m)^{-1} = T_{i}(\frac{1}{m}),此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵;|Ti(m) | = m, | Ti(m)A | = m | A | 。
        • 3) Tij(m) − 1 = Tij( − m),此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵;| Tij(m) | = 1, | Tij(m)A | = | A | 。

    作用:左乘初等矩阵相当于对矩阵行进行初等变换;右乘初等矩阵相当于对矩阵列进行初等变换。

     

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