最大公约数之和——极限版II

P1490 - 【UVa11426 】最大公约数之和——极限版II

Description

Input

输入包含至多100组数据。每组数据占一行，包含正整数N(2＜=N＜=1＜N＜4000000)。输入以N=0结束。

Output

对于每组数据，输出一行，即所对应的G值。答案保证在64位带符号整数范围内。

Sample Input

10
100
200000
0

Sample Output

67
13015
143295493160

Hint

数据范围：
对于30%的数据，2＜=N＜=2000
对于100%的数据，2＜=N＜=4000000

首先有一个公式：∑gcd(i,N)(1<=i<=N)==∑i×φ(N/i)

证明：设gcd(i,N)=k,∴gcd(i/k,N/k)=1，所以就要求出i/k的个数，这就是欧拉函数啊，
然后总答案就是每个约数的个数＊数值。

其实这样可以过了，但还有更优的做法：

把式子变形成：sigma
d=1,d<=n,d*sigma,i=2,n/d φ(i)。

然后就搞个前缀和优化，然后用数论分块。

因为有一大段区间的sigma的值是一样的，右端点r=n/(n/l),左端点l=r+1。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define maxn 4000010
#define RG register
using namespace std;
bool bj[maxn];
int su[maxn],phi[maxn],n;
LL s[maxn];
inline void getphi(){
  phi[1]=1;int sum=0;
  for(RG int i=2;i<=maxn;i++){
    if(!bj[i]) su[++sum]=i,phi[i]=i-1;
    for(RG int j=1;j<=sum;j++){
      if(su[j]*i>maxn) break;
      bj[su[j]*i]=1;
      if(i%su[j]==0){
    phi[i*su[j]]=phi[i]*su[j];
    break;
      }
      else phi[i*su[j]]=phi[i]*(su[j]-1);
    }
  }
}
int main()
{
  freopen("!.in","r",stdin);
  freopen("!.out","w",stdout);
  getphi();
  for(RG int i=2;i<=maxn-10;i++)
    s[i]=s[i-1]+phi[i];
  while(1){
    scanf("%d",&n);
    if(n==0) break;
    LL ans=0;
    for(LL l=1,r;l<=n;l=r+1)
      r=n/(n/l),ans+=(l+r)*(r-l+1)*s[n/l]/2;
    printf("%lld
",ans);
  }
  return 0;
}