编程之美2.15 子数组之和的最大值（二维）

问题描述：

我们之前在前面分析了一维数组的子数组最大值的问题，那么如果是二维数组又该如何分析？

一维数组分析：http://www.cnblogs.com/panpannju/p/3732201.html

解法：

1. 暴力解法-------O(N^2*M^2*Sum)

2. 分块计算-------O(N^2*M^2)

3. 变换成一维计算-------O(N^2*M)或者O(M^2*N)

具体思路和代码（本代码是以2*5的矩阵举例）

1. 暴力解法-------O(N^2*M^2*Sum)

思路：固定住子矩阵的四个角，然后依次计算矩阵元素之和，找到最大的。

代码：

int Sum(int A[][5],int i_0,int i_1,int j_0,int j_1)
{
    int sum = 0;
    for(int i = i_0; i <= i_1; i++)
        for(int j = j_0; j<= j_1; j++)
            sum += A[i][j];
    return sum;
}

int f(int A[][5], int m, int n)
{
    int max = -1000;
    for(int i_0 = 0; i_0 < m; i_0++)
        for(int i_1 = i_0; i_1 < m; i_1++)
            for(int j_0 = 0; j_0 < n; j_0++)
                for(int j_1 = j_0; j_1 < n; j_1++)
                {
                    int s = Sum(A,i_0,i_1,j_0,j_1);
                    if(s > max)
                        max = s;
                }
    return max;
}

2. 分块计算-------O(N^2*M^2)

思路：我们计算从（0,0）顶点到每一个点的子矩阵的和，并存储。

例如：要计算下图红色部分的和=蓝色-绿色-黄色+红色

 代码：

int f2(int A[][5], int m, int n)
{
    int (*p)[6] = new int[m+1][6];
    //为了后面计算的方便，我们对数组进行扩展
    //每一行的最前面一个数=0
    for(int i = 0; i <= m; i++)
        p[i][0] = 0;
    //每一列的最上面一个数=0
    for(int j = 0; j <= n; j++)
        p[0][j] = 0;
    for(int i = 1; i <= m ;i++)
        for(int j = 1; j<= n; j++)
        {
            p[i][j] = Sum(A,0,i-1,0,j-1);
            cout << p[i][j] <<endl;
        }
    int max = p[0][0];
    for(int i_0 = 1; i_0 <= m; i_0++)
        for(int i_1 = i_0; i_1 <= m; i_1++)
            for(int j_0 = 0; j_0 <= n; j_0++)
                for(int j_1 = j_0; j_1 <= n; j_1++)
                {
                    int s = p[i_1][j_1] - p[i_0-1][j_1] - p[i_1][j_0-1] + p[i_0-1][j_0-1];
                    if(s > max)
                        max = s;
                }
    return max;
}

3. 变换成一维计算-------O(N^2*M)或者O(M^2*N)

思路：将二维数组当做一位数组来做，先固定行，再求列。或者先固定列，再求行。

代码 ：

//一维数组求最大和子数组
int MaxSum3(int A[], int n)
{
    int start = A[0];
    int max = A[0];
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        if(start < 0)
            start = 0;
        start += A[i];
        if(start > max)
            max = start;

    }
    return max;
}


//将二维数组当做一位数组来做，先固定行，再求列。或者先固定列，再求行。
int f3(int A[][5], int m, int n)
{
    int max = -1000;
    for(int i = 0; i < m; i++)
        for(int j = i; j < m; j++)
        {
            int *a = new int [n];
            for(int k = 0; k < n; k++)
            {
                a[k] = 0;
                for(int t = i; t <= j; t++)
                    a[k] += A[t][k];
            }
            int s = MaxSum3(a,n);
            if(s > max)
                max = s;
        }
    return max;
}