透过表象看本质！？之二数据拟合

透过表象看本质！？之二数据拟合
假设对观测数据进行拟合，得到的拟合曲线为 $hat y%$ 。将观测数据 ${x_i}%$ 代入 $hat y%$ ，得到 $hat yleft( {{x_i}} ight)%$ ，其和 ${y_i}%$ 的偏差定义为

${d_i} = gleft( {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight)%$ （1）

评价 $hat y%$ 拟合结果好坏的函数称为指标函数

$Ileft( {hat y} ight) = hleft( {{d_1},{d_2}, cdots ,{d_n}} ight)%$ （2）

拟合函数 $hat y%$ 在观测数据上总的偏差越小，说明拟合的越好，因此 $Ileft( {hat y} ight)%$ 可以具体写成

$Ileft( {hat y} ight) = hleft( {{d_1},{d_2}, cdots ,{d_n}} ight) = sumlimits_{i = 1}^n {{omega _i}{d_i}}%$ （3）

其中 $sumlimits_{i = 1}^n {{omega _i}} = 1%$ ， ${omega _i}%$ 是加权系数，表示每个观测数据的重要程度。一般情况下，我们认为每个观测数据是等重要的。因此，上式可以简化为

$Ileft( {hat y} ight) = sumlimits_{i = 1}^n {{d_i}}%$ （4）

其中偏差可以定义为

$gleft( cdot ight) = {left| cdot ight|_p}%$ （5）

当p=0时， ${d_i} = gleft( {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight) = {left| {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight|^0}%$

当p=1时， ${d_i} = gleft( {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight) = {left| {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight|}%$

当p=2时， ${d_i} = gleft( {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight) = {left| {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight|^2}%$

。。。

评价函数 $Ileft( {hat y} ight)%$ 一般写成p范数的p次方

$Ileft( {hat y} ight) = sumlimits_{i = 1}^n {{d_i}} = sumlimits_{i = 1}^n {gleft( {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight)} = sumlimits_{i = 1}^n {{{left| {{y_i} - hat yleft( {{x_i}} ight)} ight|}_p}} = left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_p^p%$ （6）

求最优拟合函数 $hat y%$ 的过程是在 $hat y%$ 和 $Ileft( {hat y} ight)%$ 构成的空间上寻优的过程

$mathop {min }limits_{hat y} Ileft( {hat y} ight) = mathop {min }limits_{hat y} left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_p^p%$ （7）

对应的解是

$hat y^*} = mathop {arg min }limits_{hat y} Ileft( {hat y} ight) = mathop {arg min }limits_{hat y} left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_p^p%$ （8）

指标函数是一个以函数为自变量的函数。至此，这个问题是变分问题（至于说如何使用变分来求解，暂且压一压，以后再细说）。

假设拟合函数为 $hat y = Xeta%$ 。 $Y=egin{bmatrix}y_{1}\ y_{2}\ vdots\ y_{n}end{bmatrix}%$ ， $X=egin{bmatrix} 1 \, x_{1}\ 1 \, x_{2}\ vdots \, vdots\ 1 \, x_{n} end{bmatrix}%$ ， $eta=egin{bmatrix} eta_{1}\ eta_{2}\ end{bmatrix}%$ 。

如何求出 $eta%$ 呢？，从p=2开始推导。

$min Ileft( eta ight) = min left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_2^2 = min left| {Y - Xeta } ight|_2^2%$

评价函数对 $eta%$ 求导（因为在 $eta%$ 的取值范围是连续的，且向量的 $left| cdot ight|_2^2%$ 是一个凸函数，至少是不凹的），

$frac{d}{{deta }}Ileft( eta ight) = frac{d}{{deta }}left| {Y - Xeta } ight|_2^2 = - 2{left( {Y - Xeta } ight)^T}X%$ （9）

$frac{d}{{d{eta ^T}}}left( {frac{d}{{deta }}Ileft( eta ight)} ight) = frac{d}{{d{eta ^T}}}left( { - 2{{left( {Y - Xeta } ight)}^T}X} ight) = 2{X^T}X%$ （10）

当 $frac{d}{{deta }}Ileft( eta ight) = 0%$ 时， $frac{d}{{d{eta ^T}}}left( {frac{d}{{deta }}Ileft( eta ight)} ight) ge 0%$ ，因此极值点为极小值点。

$frac{d}{{deta }}Ileft( eta ight) = 0%$ 等价于

${left( {Y - Xeta } ight)^T}X = 0%$ （11）

上式两边进行转置，得

${X^T}Y = {X^T}Xeta%$ （12）

X为列满秩矩阵， ${X^T}X%$ 的逆矩阵存在。因此

$hat eta = {left( {{X^T}X} ight)^{ - 1}}{X^T}Y%$ （13）

$hat Y = Xhat eta = X{left( {{X^T}X} ight)^{ - 1}}{X^T}Y%$ （14）

当p=0时， $min Ileft( eta ight) = min {left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_0} = min {left| {Y - Xeta } ight|_0}%$ 。该式表示，拟合直线穿过观测数据点越多越好。该方法对数据的分布以及其中掺杂的噪声比较敏感，解不稳定。该方法可能不能拟合出真实数据的曲线，而是拟合了噪声数据。

当p=1时， $min Ileft( eta ight) = min {left| {y - hat yleft( x ight)} ight|_1} = min {left| {Y - Xeta } ight|_1}%$ 。评价函数导数不连续，求解不像二范数求解那么方便，因此很少使用，但在有些情况下，1范数拟合的曲线更好。

下面用一段代码，简单说明一下p范数对拟合结果的影响
```
lens=50;
b=50;
 
x=1:lens;
y=2*x+b*randn(1,lens);
 
x=[1 2 3 4 5];
y=[1 2 2 3 5];
 
for k=1:200
    for b=1:200
        yk=(k-100)/10*x+(b-100)/10;
        d=y-yk;
        sign=ones(1,lens);
        sign(find(abs(d)<0.5))=0;
        err0(k,b)=sum(sign);
        err1(k,b)=sum(abs(d));
        err2(k,b)=sum(d.*d);
    end
end
figure(1)
mesh(err0)
figure(2)
mesh(err1)
figure(3)
mesh(err2)
 
figure(4)
plot(x,y,'ro')
hold on
 
[a1 a2]=min(err0);
[b1 b2]=min(a1);
ka0=(a2(b2)-100)/10;
ba0=(b2-100)/10;
yk0=ka0*x+ba0;
plot(x,yk0,'md')
 
 
[a1 a2]=min(err1);
[b1 b2]=min(a1);
ka1=(a2(b2)-100)/10;
ba1=(b2-100)/10;
yk1=ka1*x+ba1;
plot(x,yk1,'g+')
 
 
[a1 a2]=min(err2);
[b1 b2]=min(a1);
ka2=(a2(b2)-100)/10;
ba2=(b2-100)/10;
yk2=ka2*x+ba2;
plot(x,yk2,'bs')
 
 
e10=sum(abs(y-yk0))
e11=sum(abs(y-yk1))
e12=sum(abs(y-yk2))
 
e20=sum((y-yk0).*(y-yk0))
e21=sum((y-yk1).*(y-yk1))
e22=sum((y-yk2).*(y-yk2))
 
legend('data','L0','L1','L2')
hold off
```
这段代码首先生成一组数据（x，y），然后分别使用0、1和2范数进行拟合求解。搜索范围k=[-10,10]，b=[-10,10]。在搜索空间中找到拟合误差最小的最小p乘解。

从评价函数的2范数出发， $eta%$ 的解的形式中包含着复杂的矩阵运算关系，这其中应该蕴含着什么。让我们首先从一个简单的例子入手吧。

有a，b两个向量，b在a上的投影p可以写成投影长度x和a方向上单位向量的乘积

$p = frac{a}{{sqrt {{a^T}a} }}x = frac{a}{{sqrt {{a^T}a} }}frac{{{a^T}b}}{{sqrt {{a^T}a} }} = frac{{a{a^T}}}{{{a^T}a}}b%$ （15）

往a方向上做投影的投影变换矩阵为

$P=frac{{a{a^T}}}{{{a^T}a}}%$ （16）

$p=Pb%$ （17）

向量b到向量a的距离等于e=b-p的模，垂直方向上的投影矩阵为

${P_ ot } = I - P%$ （18）

$e = b - p = b - Pb = left( {I - P} ight)b = {P_ ot }b%$ （19）

在数据拟合中，数据的个数远远多于未知数（待求解参数）的个数，因此这个方程不能得到精确解。我们需要找到距离Y最近的一个空间，将Y投影到该空间中。X的列向量构成的空间叫做列空间。该空间内的任意向量Xv都是X的列向量的线性组合得到，v就是组合系数。Y的近似解 $hat Y%$ 形如

$hat Y = Xhat eta%$ （20）

近似解 $hat Y%$ 与Y之间的向量为

$e = Y - hat Y%$ （21）

该向量垂直于X的列空间中的任意向量Xv，有

${left( {Xv} ight)^T}e = 0%$ （22）

${v^T}{X^T}left( {Y - hat Y} ight) = 0%$ （23）

因为v为任意向量，因此

${X^T}left( {Y - hat Y} ight) = 0%$ （24）

（20）式两边同时左乘矩阵X的转置，将（24）式代入得到

${X^T}Y = {X^T}Xhat eta%$ （25）

解出

$hat eta = {left( {{X^T}X} ight)^{ - 1}}{X^T}Y%$ （26）

近似解

$hat Y = Xhat eta = X{left( {{X^T}X} ight)^{ - 1}}{X^T}Y%$ （27）

Y在投影变换矩阵 $P=X{left({{X^T}X} ight)^{-1}}{X^T}%$ 的作用下，投影到X的列空间上，投影后得到的向量为 $hat Y=PY%$ ，误差向量 $e = Y - hat Y = left( {I - P} ight)Y%$ ，误差的大小为 ${left| {Y - hat Y} ight|_p}%$ 。

投影矩阵从另外一个角度解释了最小二乘法，同时也是最小p（p>2）乘法的解释。我们发现，最小二乘法给出的解是近似解。误差的来源方方面面，比如系统偏差，观测误差，记录误差等等。这些因素之间是一个什么样的关系，线性的还是非线性的，一时半会儿说不清楚，我们偷个懒，将拟合问题重新形式化如下

$Y = Xhat eta + varepsilon%$ （28）

我们要求的问题等价于

$hat eta = mathop {arg max }limits_eta pleft( {left. Y ight|X,eta } ight)%$ （29）

搞工程的搞来搞去不经意的发现，当随机不可知的因素很多，独立随机试验的次数很大时，由这些随机因素造成的随机误差服从高斯分布。学术界的人按耐不住了，不能让搞工程的压下去，整出了一个中心极限定理，各种分布都会渐进服从高斯分布。

我们俗气一把，还是从高斯分布入手，假设误差服从零均值高斯分布，即 $varepsilon sim Nleft( {0,{sigma ^2}} ight)%$ 。为什么是零均值，因为我们不想估计出个没用的有偏的分布出来。这种零均值误差还有个很带感的名字，白噪声。对其进行傅里叶变换后，各个频率都有响应，也就是说这种噪声是由不同频率的噪声合成的。我们常见的由各个频率合成的事物就是白色的光。所以，按照国际惯例，这种噪声叫做白噪声。

另外一个假设是独立同分布，也就是每次实验都是独立的，但是服从的分布相同。

$pleft( varepsilon ight) = frac{1}{{sqrt {2pi {sigma ^2}} }}{e^{ - frac{1}{2}{{left( {frac{varepsilon }{sigma }} ight)}^2}}}%$ （30）

$pleft( {left. Y ight|X,eta } ight) = frac{1}{{sqrt {2pi {sigma ^2}} }}{e^{ - frac{1}{2}{{left( {frac{{Y - Xeta }}{sigma }} ight)}^2}}}%$ （31）

令上式对 $eta%$ 的导数为零，又见 ${X^T}Y = {X^T}Xhat eta%$ 。也就是说，最小二乘法的概率解释是，拟合误差服从零均值高斯分布，拟合直线通过均值点。

假设噪声服从形如 $pleft( varepsilon ight) = {e^{ - left| varepsilon ight|_p^p}}%$ ，那么其解对应的就是最小p范数解。这种分布貌似就是指数族分布，当p=1时叫做拉普拉斯分布，p=2时就是大名鼎鼎的高斯分布。

通过上面的分析，我们可以察觉到，噪声的模型影响了最终的拟合结果。如果噪声是形如1范数的，那么用2范数的最小二乘法拟合出来的直线就存在偏差。如果噪声中有粗大误差，那么如果不能事先去除，拟合的结果很有可能拟合了噪声而没能拟合真实数据。从这个角度看，其实我们能够解决的问题还比较有限，因为我们对于噪声的认识还不够。

从p范数的角度出发，均值是误差形如2范数的解，中位数是误差形如1范数的解，众数是误差形如0范数的解。猜想，p阶矩就是误差形如p范数的解。

到这里，我丧心病狂的把凸优化，线性代数和概率论貌似完美的在数据拟合的框架下联系在了一起。从其反方向看，这些理论本来就是为了解决数据拟合而被提出来的。只是数学教学时，人为的把本来应该在一起的拆开了。

图中的数据在y=2x上加入了标准差为10的零均值高斯白噪声 $varepsilon sim Nleft(0,100 ight)%$ 。使用上面推导的公式解出拟合曲线为

拟合误差的样本均值为0.abc%#%$^#e-13，样本标准差为9.44。同时，该拟合曲线通过样本的均值点。
```
a=4;
b=10;
lens=100;
 
x=1:lens;
y=zeros(1,lens);
y=2*x+b*randn(1,lens);
 
X=[x;y]';
 
Y0=zeros(lens,2);
Y1=zeros(lens,2);
Y2=zeros(lens,2);
Y3=zeros(lens,2);
pY=zeros(lens+10,2);
 
A=zeros(lens,4);
V=zeros(lens,4);
D=zeros(lens,4);
pY1=zeros(lens+10,2);
 
figure
for i=1:lens
    Y0(i,:)=X(i,:);
       
    if i>3 && a>=4
       Y3(i,:)=Y0(i,:)-3*Y0(i-1,:)+3*Y0(i-2,:)-Y0(i-3,:);
    end
    if i>2 && a>=3
        Y2(i,:)=Y0(i,:)-2*Y0(i-1,:)+Y0(i-2,:);
    end
    if i>1 && a>=2
        Y1(i,:)=Y0(i,:)-Y0(i-1,:);
    end
   
    pY(i+1,:)=Y0(i,:)+Y1(i,:)+0.5*Y2(i,:)+1/6*Y3(i,:);
   
    if i<lens
        t=X(i+1,:)'*pinv(X(i,:)');
        pY1(i+2,:)=(t*X(i+1,:)')';
        [v d]=eig(t(1:2,1:2));
        A(i,:)=reshape(t,1,4);
        V(i,:)=reshape(v,1,4);
        D(i,:)=reshape(d,1,4);
    end
end
 
X1=[ones(1,lens);x]';
beta=inv(X1'*X1)*X1'*y';
pY2=X1*beta;
 
plot(x,y,'go')
hold on
plot(pY(a:lens,1),pY(a:lens,2),'r+');
plot(pY1(a:lens,1),pY1(a:lens,2),'bs');
plot(x,pY2,'mv');
```
上面的代码中pY是基于泰勒级数展开的近似估计，pY1是基于局部最小二乘估计，pY2是全局最小二乘估计。

说了这么多，我们原地踏步在一阶线性估计上，高阶怎么求解。改改X和 $eta%$ 就可以了。求解方法还是原来的配方，还是原来的味道。这里就不在多啰嗦了。

$X=egin{bmatrix} 1&{x_1^1}& cdots &{x_1^m}\ 1&{x_2^1}& cdots &{x_2^m}\ vdots & vdots & ddots & vdots \ 1&{x_n^1}& cdots &{x_n^m} end{bmatrix}%$ （32）

$eta=egin{bmatrix} {eta_0}\ {eta_1}\ vdots\ {eta_m} end{bmatrix}%$ （33）

给大家再拜上一记大杀器

$X=egin{bmatrix} {h_0}left( 1 ight)&{h_1}left( {{x_1}} ight)& cdots &{h_m}left( {{x_1}} ight)\ {h_0}left( 1 ight)&{h_1}left( {{x_2}} ight)& cdots &{h_m}left( {{x_2}} ight)\ vdots & vdots & ddots & vdots \ {h_0}left( 1 ight)&{h_1}left( {{x_n}} ight)& cdots &{h_m}left( {{x_n}} ight) end{bmatrix}%$ （34）

小伙伴们不要害怕，看 $hleft( cdot ight)%$ 一副卖萌的样子就知道这货是传说中的核函数。加权函数一块来的时候，更加凶残的公式也就来了

$hat eta = {left( {{X^T}WX} ight)^{ - 1}}{X^T}WY%$ （35）

从数据出发，我们总能对它们进行合适的解释，发现合适的模型，拟合出合适的曲线，并给出这种解释的好坏程度。到目前为止，我们对于数据拟合能够给出的最简洁的表达是

${hat y^*} = mathop {arg min }limits_{hat y} Ileft( {hat y} ight) = mathop {arg min }limits_{hat y} sumlimits_{i = 1}^n {{omega _i}left| {{y_i} - {x_i}eta } ight|_p^p}%$ （36）

貌似我们可以满足的洗洗睡了，但是一个关键的问题是X的具体形式能不能由数据自己说出来，也就是说从无到有可不可能。此外，还有两个问题没有解决，如何在保证上式成立的同时将参数的空间最小化，也就说能够用线性拟合的不用二阶多项式拟合。第二个问题就是迭代拟合。现实情况中，我们接收到的数据往往是以时间序列的形式呈现的，那t时刻和t-1时刻的模型出现不一致时，怎么处理。

未完待续
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