Dijkstra 算法——计算有权最短路径（边有权值）

【0】README

0.1） 本文总结于 数据结构与算法分析， 源代码均为原创， 旨在理解 Dijkstra 的思想并用源代码加以实现；
0.2）最短路径算法的基础知识，参见 http://blog.csdn.net/pacosonswjtu/article/details/49894021
0.3） Dijkstra算法 涉及到的 优先队列的操作实现（该优先队列的数据类型不是 int ， 而是 Distance），详情参见 http://blog.csdn.net/pacosonswjtu/article/details/49923389

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【1】Dijkstra 算法相关

1.1）贪婪算法一般分阶段去求解一个问题， 在每个阶段它都把当前出现的当做是最好的去处理：

• 1.1.1）贪婪算法荔枝（使用最少数目的纸币找零钱）：
  说找零钱， 大部分人首先数出面值1元的纸币，然后是面值5角的纸币、2角的纸币、1角的纸币等等；这种贪婪算法使用最少数目的纸币找零钱；
• 1.1.2）贪婪算法的主要问题： 该算法不能总是成功，为了找还15角的零钱，如添加面值1元2角的纸币（这仅仅是举例说明）可破坏这种找零钱算法， 因为此时它给出的答案（一个面值1元2角的纸币+1个面值2角的纸币+一个面值1角的纸币3个）不是最优的（1个面值1元的纸币+1个面值5角的纸币2个）；

1.2）Dijkstra 算法：解决单源最短路径问题的一般方法叫做 Dijkstra算法， 它的解法是贪婪算法最好的例子；

• 1.2.1） Dijkstra 算法像无权最短路径算法一样， 按阶段进行；在每个阶段， 该算法选择一个顶点v， 它在所有未知顶点中具有最小的dv， 同时算法声明从s到v的最短路径是已知的。阶段的其余工作由dw值的更新工作组成；
• 1.2.2）利用反证法证明得到， 只要没有边的值为负， 该算法总能够顺利完成，如果任何一边出现负值， 则算法可能得出错误的答案；
• 1.2.3） Dijkstra算法描述（转自天勤计算机考研高分笔记——数据结构）
  设有两个顶点集合S 和 T， 集合S中存放图中已找到最短路径的顶点，集合T存放图中剩余顶点。初始状态时， 集合S 中只包含源点V0， 然后不断从集合T中选取到顶点V0 路径长度最短的顶点Vu 并将其并入到集合S中。集合S每并入一个新的顶点Vu， 都要修改顶点V0到 集合T中顶点的最短路径长度值。不断重复这个过程， 直到集合T的顶点全部并入到 S中为止；

Attention）在理解“集合S每并入一个新的顶点Vu，都要修改顶点V0到集合T中顶点的最短路径长度值”的时候需要注意：

• A1）在Vu被选入S中后， Vu被确定为最短路径上的顶点， 此时Vu就像V0到达T中顶点的中转站 ，多了一个中转站， 就会多一些达到T中顶点的新路径，而这些新路径有可能比之前V0到T中顶点的路径还要短，因此需要修改原有V0到T中其他顶点的路径长度。此时对于T中的一个顶点Vk， 有两种情况：一种是V0不经过Vu 到达Vk的路径长度为a， 另一个是V0经过Vu到达Vk的长度为b。 如果a<=b， 则什么也不做；如果 a>b ， 则用b来代替a。 用同样的方法处理T中其他顶点， 当T中所有顶点都被处理完后， 会出现一组新的 V0到T中各个顶点的路径，这些路径中有一条最短的， 对应了T中一个顶点， 就是新的 Vu， 将其并入S。重复上述过程， 最后T中所有的顶点都会被并入到S中， 此时就可以得到 V0到图中所有顶点的最短路径；

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【2】Dijkstra算法实现

2.1）图是稠密的： 通过使用扫描表来找出最小值dv， 那么每一步将花费 O（|V|）时间找到最小值， 从而整个算法过程将花费 O（|V|^2）时间查找最小值；每次更新dw的时间是常数， 而每条边最多有一次更新，总计为 O（|E|），因此总的运行时间为
O（|E| + |V|）=O（|V|^2）；
2.2）图是稀疏的：边数 |E|=Θ（|V|） ， 那么扫描法就太慢了，不适用于稀疏图；

• 2.2.1）一种处理方法是把更新处理成 DecreaseKey 操作： 此时， 查找最小值的时间为 O（log|V|）， 即为执行那些更新的时间， 它相当于执行那些 DecreaseKey操作的时间。由此得出运行时间为 O（|E|log|V| + |V|log|V|）=O（|E|log|V|），它是对前面稀疏图的界的改进；由于优先队列不是有效地支持 Find操作， 由此 di 的每个值在优先队列的位置将需要保留并当 di 在优先队列中改变时更新。如果优先队列使用二叉堆实现的 话，那么将会很难办；如果使用配对堆（pairing heap， 见第12章），则程序不会太差；
• 2.2.2）另一种方法是在每次执行第9行时把w和新值dw插入到优先队列中去。（这里仅仅提供了一个idea，可以不去细究，因为Solution多种多样）这样，在优先队列中的每个顶点就可能有多于一个的代表。当 DeleteMin操作吧最小的顶点从优先队列中删除时， 必须检查以肯定它不是已经知道的。这种方法虽然从软件观点来看是优越的，而且编程容易得多，但是，队列的大小可能达到 |E| 那么大。由于|E| <= |V|^2 意味着 log|E| <=2log|V| ， 因此这并不影响渐进时间界。这样，我们仍然得到一个O（|E|log|V|）算法。不过，空间需求的确增加了， 在某些应用中这可能是严重的。不仅如此， 因为该方法需要 |E| 次而不仅仅是 |V| 次 DeleteMin， 所以在实践中运行很慢；
• 2.2.3）图在大多数情况下都是非常稀疏的：注意，对于一些诸如计算机邮件和大型公交传输的典型问题， 它们的图都是非常稀疏的， 因为大多数顶点只有少数几条边。因此，在许多应用中 使用优先队列来解决这种问题 是很重要的；
• 2.2.4）使用斐波那契堆实现 Dijkstra算法， 如果使用不同的数据结构，那么 Dijkstra算法可能会有更好的时间界。我们将看到另外的优先队列数据结构，叫做斐波那契堆（Fibonacci heap）。使用这种数据结构的运行时间为 O（|E| + |V|log|V|）。斐波那契堆具有良好的 理论时间界，不过，它需要相当数量的系统开销。因此，尚不清楚在实践中是否使用 斐波那契堆比使用具有二叉堆的Dijkstra 算法更好；

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【3】看个荔枝：

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【4】source code + printing results

Attention）

• A1）代码的打印结果 和 手动模拟结果做个比较，以验证我的代码可行性： 注意将我的打印结果和章节【3】中的“有权最短路径Dijkstra算法步骤解析”中的各个步骤的binary heap 和 table内容（存储在进行Dijkstra算法过程中的节点相关数据）做个比较，很直观地演示了 Dijkstra算法的步骤；
• A2）出现的问题： 本源代码用到了 优先队列（二叉堆）来选取最小的 distance所在的vertex编号，很方便，不过有个问题就是，当起始顶点（我们这里是v1）到后面的邻接顶点比之前的邻接顶点还要小（章节【3】中的v3被声明为已知后，v6的Distance更新为8，就是这种情况），那么就需要更新优先队列里面的v6的distance（由9更新为8），但是优先队列对于 find 操作不是很有效。
• A3）如何解决优先队列对find操作不是很有效的情况： 这里， 我们引入了另一个int类型的数组indexOfVertexInHeap who stores index of vertexs in heap and let every element be -1 initially；比如，v6存放在 heap的第5个位置上，那么 indexOfVertexInHeap[6]=5，对的，就是这样sample， 后面，我们需要更新 heap里面的某个vertex的distance，直接用 indexOfVertexInHeap 导出该vertex在heap中的位置，然后直接更新就可以了，Bingo！

4.1）download source code：
Dijkstra算法源代码（优先队列实现）：https://github.com/pacosonTang/dataStructure-algorithmAnalysis/tree/master/chapter9/p228_dijkstra
4.2）source code at a glance（for complete code, please click given link above）：

#include "dijkstra.h"

//allocate the memory for initializing unweighted table
WeightedTable *initWeightedTable(int size)
{	
	WeightedTable* table;
	int i;

	table = (WeightedTable*)malloc(sizeof(WeightedTable) * size);
	if(!table)
	{
		Error("out of space ,from func initWeightedTable");
		return NULL;
	}

	for(i = 0; i < size; i++)
	{
		table[i] = makeEmptyWeightedTable();		
		if(!table[i])
			return NULL;
	}

	return table;
} 

// allocate the memory for every element in unweighted table  
WeightedTable makeEmptyWeightedTable()
{
	WeightedTable element;

	element = (WeightedTable)malloc(sizeof(struct WeightedTable));
	if(!element)
	{
		Error("out of space ,from func makeEmptyWeightedTable");
		return NULL;
	}	
	element->known = 0; // 1 refers to accessed , also 0 refers to not accessed
	element->distance = MaxInt;
	element->path = -1; // index starts from 0 and -1 means the startup vertex unreaches other vertexs

	return element;
}

// allocate the memory for storing index of  vertex in heap and let every element -1
int *makeEmptyArray(int size)
{
	int *array;
	int i;

	array = (int*)malloc(size * sizeof(int));
	if(!array)
	{
		Error("out of space ,from func makeEmptyArray");
		return NULL;
	}		
	for(i=0; i<size; i++)
		array[i] = -1;

	return array;
}

//computing the unweighted shortest path between the vertex under initIndex and other vertexs
void dijkstra(AdjTable* adj, int size, int startVertex, BinaryHeap bh)
{		
	int adjVertex;	
	int tempDistance;
	WeightedTable* table;
	int vertex;		
	AdjTable temp; 	
	Distance tempDisStruct;
	int *indexOfVertexInHeap;
	int indexOfHeap;

	table = initWeightedTable(size);	 	
	tempDisStruct = makeEmptyDistance();
	indexOfVertexInHeap = makeEmptyArray(size);
	
	tempDisStruct->distance = table[startVertex-1]->distance;
    tempDisStruct->vertexIndex = startVertex-1;
	insert(tempDisStruct, bh, indexOfVertexInHeap); // insert the (startVertex-1) into the binary heap	

	table[startVertex-1]->distance = 0;// update the distance 
	table[startVertex-1]->path = 0;// update the path of starting vertex

	while(!isEmpty(bh))
	{
		//vertex = deQueue(queue); // if the queue is not empty, conducting departing queue 
		vertex = deleteMin(bh)->vertexIndex; // return the minimal element in binary heap
		
		table[vertex]->known = 1; // update the vertex as accessed, also responding known 1
		temp = adj[vertex]->next;
		while(temp)
		{
			adjVertex = temp->index; // let each adjVertex adjacent to vertex enter the queue
			
			//enQueue(queue, adjVertex); 
			tempDistance = table[vertex]->distance + temp->weight; // update the distance
			if(tempDistance < table[adjVertex]->distance)
			{
				table[adjVertex]->distance = tempDistance;
				table[adjVertex]->path = vertex; //update the path of adjVertex, also responding path evaluated as vertex							
				
				// key, we should judge whether adjVertex was added into the binary heap				
				//if true , obviously the element has been added into the binary heap(so we can't add the element into heap once again)
				if(indexOfVertexInHeap[adjVertex] != -1) 
				{
					indexOfHeap = indexOfVertexInHeap[adjVertex];
					bh->elements[indexOfHeap]->distance = tempDistance; // update the distance of corresponding vertex in binary heap
				}
				else 
				{
					tempDisStruct->distance = table[adjVertex]->distance;
					tempDisStruct->vertexIndex = adjVertex;
					insert(tempDisStruct, bh, indexOfVertexInHeap); // insert the adjVertex into the binary heap
				}
			}			 
			temp = temp->next;		
		}		
		printDijkstra(table, size, startVertex);		
		printBinaryHeap(bh);
		printf("
");
	}		
	
	printf("
");
} 

//print unweighted table
void printDijkstra(WeightedTable* table, int size, int startVertex)
{
	int i;	
	char *str[4] = 
	{
		"vertex",
		"known",
		"distance",
		"path"
	};

	printf("
	 === storage table related to Dijkstra alg as follows: === ");	
	printf("
	 %6s%6s%9s%5s", str[0], str[1], str[2], str[3]);	
	for(i=0; i<size; i++)
	{		
		if(i != startVertex-1 && table[i]->path!=-1) 
			printf("
	 %-3d   %3d   %5d      v%-3d  ", i+1, table[i]->known, table[i]->distance, table[i]->path+1);
		else if(table[i]->path == -1)
			printf("
	 %-3d   %3d   %5d      %-3d  ", i+1, table[i]->known, table[i]->distance, table[i]->path);
		else
			printf("
	 *%-3d  %3d   %5d      %-3d  ", i+1, table[i]->known, table[i]->distance, 0);
	}	 
}

int main()
{ 
	AdjTable* adj;	
	BinaryHeap bh;
	int size = 7;
	int capacity;
	int i;
	int j;
	int column = 4;
	int startVertex;
	
	int adjTable[7][4] = 
	{
		{2, 4, 0, 0},
		{4, 5, 0, 0},
		{1, 6, 0, 0},
		{3, 5, 6, 7},
		{7, 0, 0, 0},
		{0, 0, 0, 0},
		{6, 0, 0, 0}
	};
	
	int weight[7][7] = 
	{
		{2, 1, 0, 0},
		{3, 10, 0, 0},
		{4, 5, 0, 0},
		{2, 2, 8, 4},
		{6, 0, 0, 0},
		{0, 0, 0, 0},
		{1, 0, 0, 0}
	};

	printf("

	 ====== test for dijkstra alg finding weighted shortest path from adjoining table ======
");
	adj = initAdjTable(size);		
	
	printf("

	 ====== the initial weighted adjoining table is as follows:======
");
	for(i = 0; i < size; i++)
	 	for(j = 0; j < column; j++)	
			if(adjTable[i][j])			
				insertAdj(adj, adjTable[i][j]-1, i, weight[i][j]); // insertAdj the adjoining table over
	
	printAdjTable(adj, size);
	
	capacity = 7;
	bh = initBinaryHeap(capacity+1);
	//conducting dijkstra alg to find the unweighted shortest path starts	
	startVertex = 1; // you should know our index for storing vertex starts from 0
	dijkstra(adj, size, startVertex, bh);
	
	return 0;
} 

4.3）printing results：