【模拟赛】纪中提高A组 19.8.15 测试

Task.1 投票

题目大意：有 (n) 个同学投票，每个人有一个投赞成票的概率 (p_i)。现在要从中选出 (k) 个同学，使得这 (k) 个人投票的平票的概率最大。

数据范围：(1leq N,Kleq 2000)

考场上自己生成数据找规律发现一定是对所有人的 (p_i) 排序后头尾各取几个人（可以不取），做 (O(N^2)) DP 拿到了 (70) 分。这个性质的正确性具体来说就是假设已经确定了一些人，再选一个人结果是关于选的这个人的 (p) 的一个一次函数（其他部分已经确定，为常数）。具体推导可以看：here。利用这条性质，我们只需要对前缀后缀各 (O(N^2)) 做一遍DP算出概率再 (O(N)) 枚举前面选几个人即可。复杂度 (O(N^2))。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef double db;
const int N=2005;
int n,k;
db p[N],c[N],f[N][N],g[N][N],ans=0;

int main(){
	freopen("vote.in","r",stdin);
	freopen("vote.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
	sort(p+1,p+n+1);
	for(int i=n-k+1;i<=n;i++)c[n+1-i]=p[i];
	f[0][0]=g[0][0]=1.0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j]*(1.0-p[i]);
			if(j>0)f[i][j]+=f[i-1][j-1]*p[i];
			g[i][j]=g[i-1][j]*(1.0-c[i]);
			if(j>0)g[i][j]+=g[i-1][j-1]*c[i];
		}
	}
	for(int i=0;i<=k;i++){
		db tmp=0;
		for(int j=0;j<=k/2;j++)tmp+=f[i][j]*g[k-i][k/2-j];
		ans=max(ans,tmp);
	}
	printf("%lf
",ans);
	return 0;
}

Task.2 动态数点

题目大意：对于一个数列 (a)，如果一段区间 ([l,r]) 中存在 (a_k) 满足 (forall i a_k|a_i)，这段区间的价值就是 (r-l)。给出序列 (a)，求出所以区间中最大的价值以及哪些区间价值最大。

数据范围：(1leq Nleq 5cdot 10^5,1leq a_ileq 2^{32}-1)

存在不止一个 (O(Nlog N)) 的解法，比如预处理一个区间 (gcd) 的ST表，然后对于每一个位置考虑能不能作为 (a_k)，向左向右拓展，比较区间 (gcd) 是否是它的倍数。

这里给出一种 (O(N)) 的解法：先从小到大枚举作为 (a_k) 向右边能拓展到的最远距离，这个时候这段距离中经过的点一定不会比当前的点更优，然后在倒着向左边做同样的事情，在这个过程中记录和更新答案即可，因为操作顺序的缘故，得到的答案也是有序的。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

template<class T>void read(T &x){
	x=0; char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c)c=getchar();
	while('0'<=c&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar();}
}
typedef long long ll;
const int N=500050;
int n;
ll a[N];
int left[N],right[N],len=-1,p[N],tot;
int main(){
	freopen("point.in","r",stdin);
	freopen("point.out","w",stdout);
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);int l,r; ll t;
	for(int k=1;k<=n;){
		r=k; t=a[k];
		while(r<n&&a[r+1]%t==0)++r;
		right[k]=r; k=r+1;
	}
	for(int k=n;k;k--)if(right[k]){
		l=k; t=a[k];
		while(l>1&&a[l-1]%t==0)--l;
		left[k]=l;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(right[i]-left[i]>len){
			len=right[i]-left[i];
			p[tot=1]=left[i];
		}
		else if(right[i]-left[i]==len)
			p[++tot]=left[i];
	}
	printf("%d %d
",tot,len);
	for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d ",p[i]); puts("");
	return 0;
}

Task.3

题目大意：

数据范围：

正解 DP，非常有趣但是我没完全理解，坑待填。