熵的概念在统计学习与机器学习中真是很重要，熵的介绍在这里：信息熵 Information Theory 。今天的主题是最大熵模型（Maximum Entropy Model，以下简称MaxEnt），MaxEnt 是概率模型学习中一个准则，其思想为：在学习概率模型时，所有可能的模型中熵最大的模型是最好的模型；若概率模型需要满足一些约束，则最大熵原理就是在满足已知约束的条件集合中选择熵最大模型。最大熵原理指出，对一个随机事件的概率分布进行预测时，预测应当满足全部已知的约束，而对未知的情况不要做任何主观假设。在这种情况下，概率分布最均匀，预测的风险最小，因此得到的概率分布的熵是最大。
直观理解 MaxEnt
在求解概率模型时，当没有任何约束条件则只需找到熵最大的模型，比如预测一个骰子的点数，每个面为 $frac{1}{6}$， 是， 当模型有一些约束条件之后，首先要满足这些约束条件， 然后在满足约束的集合中寻找熵最大的模型，该模型对未知的情况不做任何假设，未知情况的分布是最均匀的。举例来说对于随机变量 $X$ ，其可能的取值为 $left { A,B,C ight}$ ，没有任何约束的情况下下，各个值等概率得到的 MaxEnt 模型为：
[P(A) = P(B) = P(C) = frac{1}{3}]
当给定一个约束 $P(A)= frac{1}{2}$ , 满足该约束条件下的 MaxEnt 模型是：
[P(A) = frac{1}{2}]
[P(B) = P(C) = frac{1}{4}]
如果用欧式空间中的 simplex 来表示随机变量 $X$ 的话，则 simplex 中三个顶点分别代表随机变量 $X$ 的三个取值 A, B, C , 这里定义 simplex 中任意一点 $p$ 到三条边的距离之和（恒等于三角形的高）为 1，点到其所对的边为该取值的概率，比如任给一点 $p$ ，则$P(A)$ 等于 $p$ 到 边 BC 的距离，如果给定如下概率：
[P(A) = 1 ,P(B) =P(C) = 0]
[P(A) = P(B) =P(C) = frac{1}{3}]
分别用下图表示以上两种情况：
明白了 simplex 的定义之后，将其与概率模型联系起来，在 simplex 中，不加任何约束，整个概率空间的取值可以是 simplex 中的任意一点，只需找到满足最大熵条件的的即可；当引入一个约束条件 $C_1$ 后，如下图中 (b),模型被限制在 $C_1$ 表示的直线上，则应在满足约束 $C_1$ 的条件下来找到熵最大的模型；当继续引入条件 $C_2$ 后，如图(c)，模型被限制在一点上，即此时有唯一的解；当 $C_1$ 与 $C_2$ 不一致时，如图(d)，此时模型无法满足约束，即无解。在 MaxEnt 模型中，由于约束从训练数据中取得，所以不会出现不一致。即不会出现(d) 的情况。
接下来以统计建模的形式来描述 MaxEnt 模型，给定训练数据 $left { (x_i,y_i) ight}_{i=1}^N$ ，现在要通过Maximum Entrop 来建立一个概率判别模型，该模型的任务是对于给定的 $X = x$ 以条件概率分布 $P(Y|X = x )$ 预测 $Y$ 的取值。根据训练语料能得出 $(X,Y)$ 的经验分布， 得出部分 $(X,Y)$ 的概率值，或某些概率需要满足的条件,即问题变成求部分信息下的最大熵或满足一定约束的最优解，约束条件是靠特征函数来引入的，首先先回忆一下函数期望的概念
对于随机变量 $X = x_i,i = 1,2,… $，则可以得到：
随机变量期望: 对于随机变量 $X$ ，其数学期望的形式为 $ E(X) = sum_ix_ip_i$
随机变量函数期望：若 $Y = f(X)$ ， 则关于 $X$ 的函数 $Y$ 的期望： $E(Y) = sum_if(x_i)p_i$.
特征函数
特征函数 $f(x,y)$ 描述 $x$ 与 $y$ 之间的某一事实，其定义如下：
[ f(x,y) = left { egin{aligned}
1, & 当 x、y 满足某一事实.\
0, & 不满足该事实.\
end{aligned}
ight .]
特征函数 $f(x,y)$ 是一个二值函数， 当 $x$ 与 $y$ 满足事实时取值为 1 ，否则取值为 0 。比如对于如下数据集：
数据集中，第一列为 Y ，右边为 X ，可以为该数据集写出一些特征函数，数据集中得特征函数形式如下：
[ f(x,y) = left { egin{aligned}
1, & if x= Cloudy and y=Outdoor.\
0, & else.
end{aligned}
ight.]
为每个 <feature,label> 对 都做一个如上的特征函数，用来描述数据集数学化。
约束条件
接下来看经验分布，现在把训练数据当做由随机变量 $(X,Y)$ 产生,则可以根据训练数据确定联合分布的经验分布 $widetilde{P}(X,Y)$ 与边缘分布的经验分布 $widetilde{P}(X)$ :
egin{aligned}
widetilde{P}(X = x,Y = y) &= frac{count(X=x,Y= y)}{N}\
widetilde{P}(X = x) &= frac{count(X=x)}{N}
end{aligned}
用 $E _{widetilde{P}}(f)$ 表示特征函数 $f(x,y)$ 关于经验分布 $widetilde{P}(X ,Y )$ 的期望，可得：
[E _{widetilde{P}}(f) = sum_{x,y}widetilde{P}(x ,y)f(x,y) = frac{1}{N} sum_{x,y}f(x,y) ]
$widetilde{P}(x ,y)$ 前面已经得到了，数数 $f(x,y)$ 的次数就可以了，由于特征函数是对建立概率模型有益的特征，所以应该让 MaxEnt 模型来满足这一约束，所以模型 $P(Y|X)$ 关于函数 $f$ 的期望应该等于经验分布关于 $f$ 的期望，模型 $P(Y|X)$ 关于 $f$ 的期望为：
[E_P(f) =sum_{x,y}P(x,y)f(x,y) approx sum_{x,y}widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)]
经验分布与特征函数结合便能代表概率模型需要满足的约束，只需使得两个期望项相等， 即 $E_P(f) = E _{widetilde{P}}(f)$ ：
[sum_{x,y}widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y) = sum_{x,y}widetilde{P}(x ,y)f(x,y)]
上式便为 MaxEnt 中需要满足的约束，给定 $n$ 个特征函数 $f_i(x,y)$ ，则有 $n$ 个约束条件，用 $C$ 表示满足约束的模型集合：
[C = left{ P | E_P(f_i) = E _{widetilde{P}}(f_i) ,I = 1,2,…,n ight }]
从满足约束的模型集合 $C$ 中找到使得 $P(Y|X)$ 的熵最大的即为 MaxEnt 模型了。
最大熵模型
关于条件分布 $P(Y|X)$ 的熵为：
[H(P) =–sum_{x,y}P(y,x)logP(y|x)= –sum_{x,y}widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)]
首先满足约束条件然后使得该熵最大即可，MaxEnt 模型 $P^*$ 为：
[ P^* = argmax_{P in C} H(P) 或 P^* = argmin_{P in C} -H(P) ]
综上给出形式化的最大熵模型：
给定数据集 $left { (x_i,y_i) ight}_{i=1}^N$，特征函数 $f_i(x,y)，i= 1,2…,n$ ，根据经验分布得到满足约束集的模型集合 $C$ ：
egin{aligned}
& min_{P in C} sum_{x,y} widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) \
& s.t. E_p(f_i) = E _{widetilde{P}}(f_i) \
& sum_yP(y|x) = 1
end{aligned}
MaxEnt 模型的求解
MaxEnt 模型最后被形式化为带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将其转为无约束优化的问题，引入拉格朗日乘子：
$w_0,w_1,…,w_n$， 定义朗格朗日函数 $L(P,w)$:
egin{aligned}
L(P,w)
&= -H(P) + w_0left (1-sum_yP(y|x)
ight ) + sum^n_{i=1}w_i(E _{widetilde{P}}(f_i) - E_p(f_i))\
&=sum_{x,y} widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) + w_0left (1-sum_yP(y|x)
ight ) + sum^n_{i=1}w_ileft (sum_{x,y}widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -sum_{x,y}widetilde{P}(x)p(y|x)f(x,y)
ight )
end{aligned}
现在问题转化为: $min_{P in C}L(P,w)$ ，拉格朗日函数 $L(P,w)$ 的约束是要满足的 ，如果不满足约束的话，只需另 $w_i ightarrow +infty$ ，则可得 $L(P,w) ightarrow +infty$ ，因为需要得到极小值，所以约束必须要满足，满足约束后可得： $L(P,w) = max L(P,w)$ ，现在问题可以形式化为便于拉格朗日对偶处理的极小极大的问题：
[min_{P in C} max_w L(P,w)]
由于 $L(P,w)$ 是关于 P 的凸函数，根据拉格朗日对偶可得 $L(P,w)$ 的极小极大问题与极大极小问题是等价的：
[min_{P in C} max_w L(P,w) = max_w min_{P in C} L(P,w) ]
现在可以先求内部的极小问题 $min_{P in C} L(P,w)$ ，$min_{P in C} L(P,w)$ 得到的解为关于 $w$ 的函数，可以记做 $Psi(w)$ ：
[Psi(w) = min_{P in C} L(P,w) = L(P_w,w)]
上式的解 $P_w$ 可以记做：
[P_w = arg min_{P in C}L(P,w) = P_w(y|x)]
由于求解 $P$ 的最小值 $P_w$ ,只需对于 $P(y|x)$ 求导即可,令导数等于 0 即可得到 $P_w(y|x)$ ：
egin{aligned}
frac{partial L(P,w) }{partial P(y|x)} &= sum_{x,y}widetilde{P}(x)(logP(y|x)+1)-sum_yw_0-sum_{x,y}left ( widetilde{P}(x)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)
ight ) \
&= sum_{x,y}widetilde{P}(x)left ( logP(y|x)+1-w_0-sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)
ight ) = 0 \
Rightarrow \
P(y|x) &= exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) +w_0-1
ight ) = frac{expleft(sum_{i=1}^n w_if_i(x,y)
ight )}{exp(1-w_0)}
end{aligned}
由于 $sum_yP(y|x) = 1$，可得:
[sum_yP(y|x) = 1 Rightarrow frac {1} {exp(1-w_0)} sum _y exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) ight ) = 1]
进而可以得到：
[ exp(1-w_0) = sum _y exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) ight ) ]
这里 $exp(1-w_0)$ 起到了归一化的作用，令 $Z_w(x)$ 表示 $exp(1-w_0)$ ，便得到了 MaxEnt 模型 ：
egin{aligned}
P_w(y|x) &= frac{1}{Z_w(x) }exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) ight ) \
Z_w(x) &=sum _y exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) ight )
end{aligned}
这里 $f_i(x,y)$ 代表特征函数，$w_i$ 代表特征函数的权值， $P_w(y|x)$ 即为 MaxEnt 模型，现在内部的极小化求解得到关于 $w$ 的函数，现在求其对偶问题的外部极大化即可，将最优解记做 $w^*$:
[w^* = arg max_w Psi(w)]
所以现在最大上模型转为求解 $Psi(w)$ 的极大化问题，求解最优的 $w^*$ 后， 便得到了所要求的MaxEnt 模型，将 $P_w(y|x)$ 带入 $Psi(w)$ ，可得：
egin{aligned}
Psi(w) &=sum_{x,y}widetilde{P}(x)P_w(y|x)logP_w(y|x) + sum^n_{i=1}w_ileft (sum_{x,y}widetilde{P}(x ,y)f(x,y) -sum_{x,y}widetilde{P}(x)P_w(y|x)f(x,y)
ight )\
&= sum_{x,y} widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) +sum_{x,y}widetilde{P}(x)P_w(y|x)left (logP_w(y|x) - sum_{i=1}^nw_if_i(x,y)
ight) \
&=sum_{x,y} widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) +sum_{x,y}widetilde{P}(x)P_w(y|x)logZ_w(x)\
&=sum_{x,y} widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) +sum_xwidetilde{P}(x)logZ_w(x)sum_yP_w(y|x)\
&=sum_{x,y} widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) +sum_xwidetilde{P}(x)logZ_w(x)\
end{aligned}
以上推倒第二行到第三行用到以下结论：
[P_w(y|x) = frac{1}{Z_w(x) }exp left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) ight ) Rightarrow logP_w(y|x) =sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - logZ_w(x)]
倒数第二行到最后一行是由于：$sum_yP_w(y|x) = 1$，最终通过一系列极其复杂的运算，得到了需要极大化的式子：
[max_{p in C} sum_{x,y} widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^nw_if_i(x,y) +sum_xwidetilde{P}(x)logZ_w(x)]
极大化似然估计解法
这太难了，有没有简单又 work 的方式呢？ 答案是有的，就是极大似然估计 MLE 了，这里有训练数据得到经验分布 $widetilde{P}(x,y)$ ， 待求解的概率模型 $P(Y|X)$ 的似然函数为：
[L_{widetilde{P}}(P_w) = logprod_{x,y}P(y|x)^{widetilde{P}(x,y)} = sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)logP(y|x) ]
将 $P_w(y|x)$ 带入以下公式可以得到：
egin{aligned}
L_{widetilde{P}}(P_w) &= sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)logP(y|x)\
&= sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)left ( sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) -logZ_w(x)
ight )\
&= sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)logZ_w(x)\
&= sum_{x,y}widetilde{P}(x,y)sum_{i=1}^n w_if_i(x,y) - sum_{x}widetilde{P}(x)logZ_w(x)\
end{aligned}
显而易见，拉格朗日对偶得到的结果与极大似然得到的结果时等价的，现在只需极大化似然函数即可，顺带优化目标中可以加入正则项，这是一个凸优化问题，一般的梯度法、牛顿法都可解之，专门的算法有GIS IIS 算法，。
这里给出来做下参考吧！ ==
参考文献：
《统计学习方法》
http://blog.csdn.net/itplus/article/details/26550201
http://www.cnblogs.com/hexinuaa/p/3353479.html
A Maximum Entropy Approach A Maximum Entropy Approach
Classical Probabilistic Models and Conditional Random Fields