• BZOJ 1977 严格次小生成树(算竞进阶习题)


    树上倍增+kruskal

    要找严格次小生成树,肯定先要找到最小生成树。
    我们先把最小生成树的边找出来建树,然后依次枚举非树边,容易想到一种方式:

    • 对于每条非树边(u,v),他会与树上的两个点构成环,我们在树上的两个点路径上找到最大值a和次大值b,如果非树边(u,v)的权值大于a,那么用mst-a+w(u,v)
    • 如果非树边(u, v)的权值等于a,那么用mst-b+w(u,v)
      枚举完所有非树边之后,最小值就是严格次小生成树

    对于每个点路径的最大值和次大值,我们可以和LCA一样,用树上倍增的方式
    g[s][i][0]表示s到s的第2i次方个祖先的路径上的最大值,g[s][i][1]表示s到s的第2i次方个祖先的路径上的次大值

    在查询时只需要将两个点分别往上跳至LCA,最后合并最大值和次大值即可

    #include <bits/stdc++.h>
    #define INF 0x3f3f3f3f
    #define inf 2333333333333333333
    #define full(a, b) memset(a, b, sizeof a)
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    inline int lowbit(int x){ return x & (-x); }
    inline int read(){
        int X = 0, w = 0; char ch = 0;
        while(!isdigit(ch)) { w |= ch == '-'; ch = getchar(); }
        while(isdigit(ch)) X = (X << 3) + (X << 1) + (ch ^ 48), ch = getchar();
        return w ? -X : X;
    }
    inline int gcd(int a, int b){ return a % b ? gcd(b, a % b) : b; }
    inline int lcm(int a, int b){ return a / gcd(a, b) * b; }
    template<typename T>
    inline T max(T x, T y, T z){ return max(max(x, y), z); }
    template<typename T>
    inline T min(T x, T y, T z){ return min(min(x, y), z); }
    template<typename A, typename B, typename C>
    inline A fpow(A x, B p, C lyd){
        A ans = 1;
        for(; p; p >>= 1, x = 1LL * x * x % lyd)if(p & 1)ans = 1LL * x * ans % lyd;
        return ans;
    }
    const int N = 100005;
    const int M = 300005;
    int n, m, cnt, head[N], parent[N], depth[N], t, val1, val2;
    int p[N][20], g[N][20][2];
    ll mst;
    bool vis[M];
    struct E {
        int u, v, w;
        bool operator < (const E &rhs) const {
            return w < rhs.w;
        }
    }e[M];
    struct Edge { int v, next, w; }edge[M<<1];
    
    void addEdge(int a, int b, int w){
        edge[cnt].v = b, edge[cnt].w = w, edge[cnt].next = head[a], head[a] = cnt ++;
    }
    
    int find(int p){
        while(p != parent[p]) parent[p] = parent[parent[p]], p = parent[p];
        return p;
    }
    
    bool isConnect(int p, int q){ return find(p) == find(q); }
    
    void unionElements(int p, int q){
        int pRoot = find(p), qRoot = find(q);
        if(pRoot == qRoot) return;
        parent[pRoot] = qRoot;
    }
    
    void kruskal(){
        full(head, -1);
        for(int i = 0; i <= n; i ++) parent[i] = i;
        sort(e, e + m);
        int tot = 0;
        for(int i = 0; i < m; i ++){
            int u = e[i].u, v = e[i].v;
            if(isConnect(u, v)) continue;
            unionElements(u, v), addEdge(u, v, e[i].w), addEdge(v, u, e[i].w);
            mst += e[i].w, vis[i] = true, tot ++;
            if(tot == n - 1) break;
        }
    }
    
    void dfs(int s, int fa){
        depth[s] = depth[fa] + 1;
        p[s][0] = fa;
        for(int i = 1; i <= t; i ++){
            p[s][i] = p[p[s][i - 1]][i - 1];
            g[s][i][0] = max(g[s][i - 1][0], g[p[s][i - 1]][i - 1][0]);
            if(g[s][i - 1][0] == g[p[s][i - 1]][i - 1][0])
                g[s][i][1] = max(g[s][i - 1][1], g[p[s][i - 1]][i - 1][1]);
            else if(g[s][i - 1][0] > g[p[s][i - 1]][i - 1][0])
                g[s][i][1] = max(g[s][i - 1][1], g[p[s][i - 1]][i - 1][0]);
            else g[s][i][1] = max(g[s][i - 1][0], g[p[s][i - 1]][i - 1][1]);
        }
        for(int i = head[s]; i != -1; i = edge[i].next){
            int u = edge[i].v;
            if(u == fa) continue;
            g[u][0][0] = edge[i].w, g[u][0][1] = -INF;
            dfs(u, s);
        }
    }
    
    int lca(int x, int y){
        if(depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
        for(int i = t; i >= 0; i --){
            if(depth[p[x][i]] >= depth[y]) x = p[x][i];
        }
        if(x == y) return y;
        for(int i = t; i >= 0; i --){
            if(p[x][i] != p[y][i]) x = p[x][i], y = p[y][i];
        }
        return p[y][0];
    }
    
    void calc(int s, int v){
        for(int i = t; i >= 0; i --){
            if(depth[p[s][i]] >= depth[v]){
                if(g[s][i][0] == val1)
                    val2 = max(val2, g[s][i][1]);
                else if(val1 < g[s][i][0])
                    val2 = max(val1, g[s][i][1]);
                else val2 = max(g[s][i][0], g[s][i][1]);
                val1 = max(val1, g[s][i][0]);
                s = p[s][i];
            }
        }
    }
    
    int main(){
    
        n = read(), m = read();
        for(int i = 0; i < m; i ++){
            e[i].u = read(), e[i].v = read(), e[i].w = read();
        }
        kruskal();
        t = (int)(log(n) / log(2)) + 1;
        dfs(1, 0);
        ll ans = inf;
        val1 = 0, val2 = -INF;
        for(int i = 0; i < m; i ++){
            if(vis[i]) continue;
            int u = e[i].u, v = e[i].v, f = lca(u, v);
            calc(u, f), calc(v, f);
            if(e[i].w > val1) ans = min(ans, (ll)(mst - val1 + e[i].w));
            else ans = min(ans, (ll)(mst - val2 + e[i].w));
        }
        printf("%lld
    ", ans);
        return 0;
    }
    
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